Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
328 kez görüntülendi
X küme olmak üzere Ext:2X2X fonksiyonu her A,B2X için

E1) Ext()=X,

E2) AExt(A)=,

E3) Ext(XExt(A))=Ext(A),

E4) Ext(AB)=Ext(A)Ext(B)

koşullarını sağlasın.

a) Ext fonksiyonu E1,E2 ve E4 koşullarını sağladığında X kümesinin Ext(XA)=A koşulu sağlayan tüm altkümelerinin oluşturduğu ailenin X kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. Yani τ={AX:Ext(XA)=A} ailesinin X kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

b) Ext fonksiyonu E1,E2 ve E4 koşullarına ilave olarak E3 koşulunu da sağladığında Ext(A)=(XA)  (a şıkkında elde edilen τ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 328 kez görüntülendi
T1) Ext(XX)=Ext()(E1)=XXτ.

XExt(X)(E2)=Ext(X)=Ext(X)=τ.

 

T2) A,Bτ olsun.

AτExt(XA)=ABτExt(XB)=B}Ext(XA)Ext(XA)=AB

Ext(X(AB))=Ext((XA)(XB))(E4)=Ext(XA)Ext(XB)=AB

ABτ.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
a) τ ailesinin X kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösterelim.

T1) Ext(XX)=Ext()(E1)=XXτ.

XExt(X)(E2)=Ext(X)=Ext(X)=τ.

 

T2) A,Bτ olsun.

AτExt(XA)=ABτExt(XB)=B}Ext(XA)Ext(XA)=AB

Ext(X(AB))=Ext((XA)(XB))(E4)=Ext(XA)Ext(XB)=AB

ABτ.

 

T3) Aτ olsun. Önce Ext fonksiyonunun monoton olduğunu görelim.

 

ABB=ABExt(B)=Ext(AB)(E4)=Ext(A)Ext(B)Ext(B)Ext(A)()

 

Aτ(AA)(AA)(AA)(X(A)XA)()(AA)(A=Ext(XA)Ext(X(A))AAA=AExt(X(A))(1)

 

(X(A))Ext(X(A))(E2)=Ext(X(A))A(2)

 

(1),(2)Ext(X(A))=AAτ.

 

b) Şimdi de (a) şıkkında elde edilen topolojiye göre Ext(A)=(XA) olduğunu yani A:={B|(BXA)(Bτ)} olmak üzere Ext(A)=A olduğunu yani Ext(A)=maxA olduğunu gösterelim. Bunun için Ext(A)A ve (BA)(BExt(A)) olduğunu göstermeliyiz.

A2X(E2)AExt(A)=Ext(A)XAA2X(E3)Ext(XExt(A))=Ext(A)Ext(A)τ}Ext(A)A(3)

 

BA(BExt(A))(Bτ)(XExt(A)XB)(Ext(XB)=B)()B=Ext(XB)Ext(XExt(A))(E4)=Ext(A)(4)

 

(3),(4)Ext(A)=maxA=(XA).
(11.5k puan) tarafından 
20,312 soru
21,867 cevap
73,586 yorum
2,850,189 kullanıcı