Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
804 kez görüntülendi
$X$ sonsuz bir küme ve $(X,\tau)$ Hausdorff uzayı olmak üzere $$\tau^*:=\{X\setminus A|(A\subseteq X)(A, \ \tau\text{-kompakt})\}\cup \{\emptyset\}\subseteq 2^X$$ ailesi, $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. Bu topolojiye $X$ kümesi üzerindeki kompakt tümleyenler topolojisi (compact complement topology) denir.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 804 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathbf{1)} \ \emptyset\in\tau^*$ (Tanımdan)

$\left.\begin{array}{rr}(\emptyset \subseteq X)(\emptyset, \ \tau\text{-kompakt})\Rightarrow X\setminus\emptyset\in\tau^*\\ \\ X\setminus \emptyset =X\end{array}\right\}\Rightarrow X\in\tau^*.$

$-----------------------------------$

$\mathbf{2)}$ $A,B\in \tau^*$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}A\in \tau^*\Rightarrow (\exists U\subseteq X)(U, \ \tau\text{-kompakt})(A=X\setminus U) \\ \\ B\in \tau^*\Rightarrow (\exists V\subseteq X)(V, \ \tau\text{-kompakt})(B=X\setminus V)\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow}$

$\Rightarrow (U\cup V\subseteq X)(U\cup V, \ \tau\text{-kompakt})(A\cap B=(X\setminus U)\cap (X\setminus V)=X\setminus (U\cup V))$

$\Rightarrow A\cap B\in \tau^*.$

$-----------------------------------$

$\mathbf{3)}$ $\mathcal{A}\subseteq\tau^*$ olsun. $(\emptyset\notin\mathcal{A}$ olduğunu varsaymamızda bir sakınca yok. Neden$?)$

$\left.\begin{array}{rr}\mathcal{B}:=\{B|A\in\mathcal{A}\Rightarrow (\exists B\subseteq X)(B,\ \tau\text{-kompakt})(A=X\setminus B)\} \\ \\ (X,\tau),  \text{ Hausdorff }\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\overset{(1),(2)}\Rightarrow \left(\bigcap\mathcal{B}, \ \tau\text{-kompakt}\right)\left(\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\bigcup_{B\in\mathcal{B}}\left( X\setminus B\right)=X\setminus \left(\bigcap_{B\in\mathcal{B}} B\right)=X\setminus \left(\bigcap\mathcal{B}\right)\right)$

$\Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in\tau^*.$
(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

(1) ve (2) nolu gerekçelere rakamların üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz. Soru işaretinin gerekçesine de buradaki linkten ulaşabilirsiniz.

Aşağıdaki aile topoloji olur mu?
Kompakt tümleyenler topolojisi için bir baz yazınız.
20,259 soru
21,785 cevap
73,453 yorum
2,329,844 kullanıcı