Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
734 kez görüntülendi
$X$ sonsuz bir küme ve $(X,\tau)$ Hausdorff uzayı olmak üzere $$\tau^*:=\{X\setminus A|(A\subseteq X)(A, \ \tau\text{-kompakt})\}\cup \{\emptyset\}\subseteq 2^X$$ ailesi, $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. Bu topolojiye $X$ kümesi üzerindeki kompakt tümleyenler topolojisi (compact complement topology) denir.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 734 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathbf{1)} \ \emptyset\in\tau^*$ (Tanımdan)

$\left.\begin{array}{rr}(\emptyset \subseteq X)(\emptyset, \ \tau\text{-kompakt})\Rightarrow X\setminus\emptyset\in\tau^*\\ \\ X\setminus \emptyset =X\end{array}\right\}\Rightarrow X\in\tau^*.$

$-----------------------------------$

$\mathbf{2)}$ $A,B\in \tau^*$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}A\in \tau^*\Rightarrow (\exists U\subseteq X)(U, \ \tau\text{-kompakt})(A=X\setminus U) \\ \\ B\in \tau^*\Rightarrow (\exists V\subseteq X)(V, \ \tau\text{-kompakt})(B=X\setminus V)\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow}$

$\Rightarrow (U\cup V\subseteq X)(U\cup V, \ \tau\text{-kompakt})(A\cap B=(X\setminus U)\cap (X\setminus V)=X\setminus (U\cup V))$

$\Rightarrow A\cap B\in \tau^*.$

$-----------------------------------$

$\mathbf{3)}$ $\mathcal{A}\subseteq\tau^*$ olsun. $(\emptyset\notin\mathcal{A}$ olduğunu varsaymamızda bir sakınca yok. Neden$?)$

$\left.\begin{array}{rr}\mathcal{B}:=\{B|A\in\mathcal{A}\Rightarrow (\exists B\subseteq X)(B,\ \tau\text{-kompakt})(A=X\setminus B)\} \\ \\ (X,\tau),  \text{ Hausdorff }\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\overset{(1),(2)}\Rightarrow \left(\bigcap\mathcal{B}, \ \tau\text{-kompakt}\right)\left(\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\bigcup_{B\in\mathcal{B}}\left( X\setminus B\right)=X\setminus \left(\bigcap_{B\in\mathcal{B}} B\right)=X\setminus \left(\bigcap\mathcal{B}\right)\right)$

$\Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in\tau^*.$
(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

(1) ve (2) nolu gerekçelere rakamların üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz. Soru işaretinin gerekçesine de buradaki linkten ulaşabilirsiniz.

Aşağıdaki aile topoloji olur mu?
Kompakt tümleyenler topolojisi için bir baz yazınız.
20,220 soru
21,752 cevap
73,357 yorum
1,997,133 kullanıcı