Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3.5k kez görüntülendi

a,bR+,  X={(x,y)|x2+y2=a2}R2  ve  Y={(x,y)|x2+y2=b2}R2  olmak üzere f(x,y):=(bxa,bya) kuralı ile verilen f:XY fonksiyonunun bijektif olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 3.5k kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ortenlik:

(x,y)Y ise (ax/b)2+(ay/b)2=a2 saglanir ve f(ax/b,yx/b)=(x,y) de saglandigindan f ortendir. 

Birebirlik:

(x,y), (u,v)X  olmak uzere f(x,y)=f(u,v) ise (bx/a,by/a)=(bu/a,bv/a) saglanir; yani (x,y)=(u,v) saglanir. Dolayisiyla f birebirdir. 

Genel olarak:

Her cemberi bijectif bir sekilde merkezi orijin olacak sekilde oteleyebilecegimizden genel olarak iki cemberin bijektif olmasi gerektigini cikarabiliriz.

(25.6k puan) tarafından 

Hatta daha geneli iki çemberin homeomorfik (topolojik olarak eş) olduğunu da söyleyebiliriz.

Amacım, yanıtların devamında farklı sorular sorarak en son olarak @alpercay'ın yazdığını söylemekti.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Önce birebir olduğunu gösterelim:

(x1,y1),(x2,y2)X  ve  (x1,y1)(x2,y2) olsun.

(x1,y1)(x2,y2)

x1x2  y1y2

(x1x2  y1=y2)(x1=x2  y1y2)(x1x2  y1y2)

I. Durum:  x1x2  y1=y2 olsun.

x1x2  y1=y2

bx1abx2a  by1a=by2a

(bx1a,by1a)(bx2a,by2a)

f(x1,y1)f(x2,y2).

II.  ve  III.  durum benzer şekilde gösterilir. O halde f fonksiyonu birebirdir.

Şimdi de örten olduğunu gösterelim:

((x,y)Y)((u,v)X)(f(u,v)=(x,y)) önermesinin doğru olduğunu gösterirsek işimiz biter.

Her  (x,y)Y  için (u,v):=(axb,ayb) alınırsa f(u,v)=(bua,bva)=(x,y) koşulu sağlanır. O halde ((x,y)Y)((u,v)X)(f(x,y)=(u,v)) önermesi doğru yani f fonksiyonu örtendir.


(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
f fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.
f fonksiyonunun açık olduğunu gösteriniz.
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,567 kullanıcı