Bijektif Fonksiyon

Question

$a,b\in\mathbb{R}^+,$  $X=\{(x,y)|x^2+y^2=a^2\}\subseteq\mathbb{R}^2$  ve  $Y=\{(x,y)|x^2+y^2=b^2\}\subseteq\mathbb{R}^2$  olmak üzere $$f(x,y):=\left(\frac{b\cdot x}{a},\frac{b\cdot y}{a}\right)$$ kuralı ile verilen $$f:X\rightarrow Y$$ fonksiyonunun bijektif olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Ortenlik:

$(x,y) \in Y$ ise $$(ax/b)^2+(ay/b)^2=a^2$$ saglanir ve $$f(ax/b,yx/b)=(x,y)$$ de saglandigindan $f$ ortendir. 

Birebirlik:

$(x,y),\ (u,v) \in X$  olmak uzere $$f(x,y)=f(u,v)$$ ise $$(bx/a,by/a)=(bu/a,bv/a)$$ saglanir; yani $(x,y)=(u,v)$ saglanir. Dolayisiyla $f$ birebirdir. 

Genel olarak:

Her cemberi bijectif bir sekilde merkezi orijin olacak sekilde oteleyebilecegimizden genel olarak iki cemberin bijektif olmasi gerektigini cikarabiliriz.

Comments

Hatta daha geneli iki çemberin homeomorfik (topolojik olarak eş) olduğunu da söyleyebiliriz.

---

Amacım, yanıtların devamında farklı sorular sorarak en son olarak @alpercay'ın yazdığını söylemekti.

Answer 2

Önce birebir olduğunu gösterelim:

$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X$  ve  $(x_1,y_1)\neq (x_2,y_2)$ olsun.

$$(x_1,y_1)\neq (x_2,y_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$x_1\neq x_2 \ \vee \ y_1\neq y_2$$

$$\Rightarrow$$

$$(x_1\neq x_2 \ \wedge \ y_1=y_2)\vee (x_1=x_2 \ \wedge \ y_1\neq y_2)\vee (x_1\neq x_2 \ \wedge \ y_1\neq y_2)$$

$\textbf{I. Durum:}$  $x_1\neq x_2 \ \wedge \ y_1=y_2$ olsun.

$$x_1\neq x_2 \ \wedge \ y_1=y_2$$

$$\Rightarrow$$

$$ \frac{b\cdot x_1}{a}\neq \frac{b\cdot x_2}{a} \ \wedge \ \frac{b\cdot y_1}{a}=\frac{b\cdot y_2}{a}$$

$$\Rightarrow$$

$$ \left(\frac{b\cdot x_1}{a},\frac{b\cdot y_1}{a}\right) \neq \left(\frac{b\cdot x_2}{a}, \frac{b\cdot y_2}{a}\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$f(x_1,y_1)\neq f(x_2,y_2).$$

$\textbf{II.}$  ve  $\textbf{III.}$  durum benzer şekilde gösterilir. O halde $f$ fonksiyonu birebirdir.

Şimdi de örten olduğunu gösterelim:

$$(\forall (x,y)\in Y)(\exists (u,v)\in X)(f(u,v)=(x,y))$$ önermesinin doğru olduğunu gösterirsek işimiz biter.

Her  $(x,y)\in Y$  için $$(u,v):=\left(\frac{a\cdot x}{b},\frac{a\cdot y}{b}\right)$$ alınırsa $$f(u,v)= \left(\frac{b\cdot u}{a},\frac{b\cdot v}{a}\right)=(x,y)$$ koşulu sağlanır. O halde $$(\forall (x,y)\in Y)(\exists (u,v)\in X)(f(x,y)=(u,v))$$ önermesi doğru yani $f$ fonksiyonu örtendir.