Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
432 kez görüntülendi

Aynı küme üzerinde tanımlı iki metriğin topolojik denk olması için gerek ve yeter koşul bu iki metrik uzay arasındaki birim fonksiyon ile bu birim fonksiyonun tersinin (inversinin) sürekli olmasıdır.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 432 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Gerek ve yeter koşul dendiğine göre ispatı iki adımda yapacağız.

Gerek Kısmı: $d_1\sim d_2$ ve $A\in \tau_{d_2}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in \tau_{d_2}\Rightarrow i^{-1}[A]=A \\ \\ d_1\sim d_2\Rightarrow \tau_{d_1}=\tau_{d_2}\end{array} \right\}\Rightarrow i^{-1}[A]\in \tau_{d_1}\Big{/} i, (d_1\mbox{-}d_2) \text{ sürekli}$

$-----------------------------------$

$d_1\sim d_2$ ve $A\in \tau_{d_1}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in \tau_{d_1}\Rightarrow (i^{-1})^{-1}[A]=i[A]=A \\ \\ d_1\sim d_2\Rightarrow \tau_{d_1}=\tau_{d_2}\end{array} \right\}\Rightarrow (i^{-1})^{-1}[A]\in \tau_{d_2}\Big{/} i^{-1}, (d_2\mbox{-}d_1) \text{ sürekli}$

$-----------------------------------$

Yeter Kısmı: $i, (d_1\mbox{-}d_2)$  sürekli ve $A\in\tau_{d_2} $olsun.

$\left.\begin{array}{r} A\in\tau_{d_2} \\ \\ i, (d_1\mbox{-}d_2)  \text{ sürekli} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{r} i^{-1}[A]\in \tau_{d_1} \\ \\ i^{-1}[A]=A\end{array} \right\} \Rightarrow A\in\tau_{d_1}\Big{/} \tau_{d_2}\subseteq \tau_{d_1}\ldots (1)\end{array}$

$-----------------------------------$

$i^{-1}, (d_2\mbox{-}d_1)$  sürekli ve $A\in\tau_{d_1} $olsun.

$\left.\begin{array}{r} A\in\tau_{d_1} \\ \\ i^{-1}, (d_2\mbox{-}d_1)  \text{ sürekli} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{c} (i^{-1})^{-1}[A]\in \tau_{d_2} \\ \\ (i^{-1})^{-1}[A]=i[A]=A\end{array} \right\} \Rightarrow A\in\tau_{d_2}\Big{/} \tau_{d_1}\subseteq \tau_{d_2}\ldots (2)\end{array}$

$-----------------------------------$

$$(1),(2)$$$$\Rightarrow$$$$\tau_{d_1}=\tau_{d_2} $$$$\Rightarrow$$$$ d_1\sim d_2.$$

(11.4k puan) tarafından 
20,248 soru
21,774 cevap
73,419 yorum
2,147,582 kullanıcı