(⇒): d1∼d2 ve ϵ>0 olsun.
d1∼d2ϵ>0}⇒(∃δ1>0)(∃δ2>0)(∀x∈X)(∀y∈X)[(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)∧(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)]
(1)⇒(∃δ1>0)(∃δ2>0)([(∀x∈X)(∀y∈X)(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)]∧[(∀x∈X)(∀y∈X)(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)])
(2)⇒(∃δ1>0)([(∀x∈X)(∀y∈X)(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)]∧[(∃δ2>0)(∀x∈X)(∀y∈X)(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)])
(2)⇒[(∃δ1>0)(∀x∈X)(∀y∈X)(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)]∧[(∃δ2>0)(∀x∈X)(∀y∈X)(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)].
Not: (1) ve (2) nolu geçişlerin gerekçesi:
(1) nolu geçişin gerekçesi: ∀x(p(x)∧q(x))≡∀xp(x)∧∀xq(x)
(2) nolu geçişin gerekçesi: ∃x(p∧q(x))≡p∧∃xq(x)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(⇐): i, (d1-d2) ve (d2-d1) düzgün sürekli ve ϵ>0 olsun.
i, (d1-d2) düzgün sürekliϵ>0}⇒(∃δ1>0)(∀x∈X)(∀y∈X)(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)…(1)
i, (d2-d1) düzgün sürekliϵ>0}⇒(∃δ2>0)(∀x∈X)(∀y∈X)(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)…(2)
(1),(2)⇒(∃δ1>0)(∀x∈X)(∀y∈X)(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)∧(∃δ2>0)(∀x∈X)(∀y∈X)(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)
⇒(∃δ1>0)[(∀x∈X)(∀y∈X)(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)∧(∃δ2>0)(∀x∈X)(∀y∈X)(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)]
⇒(∃δ1>0)(∃δ2>0)[(∀x∈X)(∀y∈X)(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)∧(∀x∈X)(∀y∈X)(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)]
⇒(∃δ1>0)(∃δ2>0)(∀x∈X)(∀y∈X)[(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)∧(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)].