Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
417 kez görüntülendi

Aynı küme üzerinde tanımlı iki metriğin düzgün denk olması için gerek ve yeter koşul bu iki metrik uzay arasındaki birim fonksiyon ile bu birim fonksiyonun tersinin (inversinin) düzgün sürekli olmasıdır.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 417 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(\Rightarrow):$ $d_1\sim d_2$  ve  $\epsilon>0$  olsun.


$\left.\begin{array}{rr} d_1\sim d_2 \\  \\ \epsilon>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)]$


$\overset{(1)}{\Rightarrow} (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)\Big{(}\Big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\Big{]}\wedge \Big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\Big{]}\Big{)}$


$\overset{(2)}{\Rightarrow} (\exists\delta_1>0)\Big{(}\Big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\Big{]}\wedge \Big{[}(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\Big{]}\Big{)}$


$\overset{(2)}{\Rightarrow}\Big{[}(\exists\delta_1>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\Big{]}\wedge \Big{[}(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\Big{]}.$


Not: $(1)$ ve $(2)$ nolu geçişlerin gerekçesi: 

$(1)$ nolu geçişin gerekçesi: $\forall x(p(x)\wedge q(x))\equiv \forall xp(x)\wedge \forall xq(x)$

$(2)$ nolu geçişin gerekçesi: $\exists x(p\wedge q(x))\equiv p\wedge \exists xq(x)$

$--------------------------------------------------$

$(\Leftarrow):$ $i, \ (d_1\text{-}d_2)$  ve  $(d_2\text{-}d_1)$  düzgün sürekli ve $\epsilon>0$  olsun.


$\left.\begin{array}{rr} i, \ (d_1\text{-} d_2) \text{ düzgün sürekli} \\  \\ \epsilon>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\ldots (1)$


$\left.\begin{array}{rr} i, \ (d_2\text{-} d_1) \text{ düzgün sürekli} \\  \\ \epsilon>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\ldots (2)$


$(1),(2)\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)$


$\Rightarrow (\exists\delta_1>0)\big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge  (\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\big{]}$


$\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)\big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge  (\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\big{]}$


$\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)\big{[}(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\big{]}.$

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,248 soru
21,774 cevap
73,416 yorum
2,145,567 kullanıcı