Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
266 kez görüntülendi

Aynı küme üzerinde tanımlı iki metriğin düzgün denk olması için gerek ve yeter koşul bu iki metrik uzay arasındaki birim fonksiyon ile bu birim fonksiyonun tersinin (inversinin) düzgün sürekli olmasıdır.

Lisans Matematik kategorisinde (10.8k puan) tarafından  | 266 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(\Rightarrow):$ $d_1\sim d_2$  ve  $\epsilon>0$  olsun.


$\left.\begin{array}{rr} d_1\sim d_2 \\  \\ \epsilon>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)]$


$\overset{(1)}{\Rightarrow} (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)\Big{(}\Big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\Big{]}\wedge \Big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\Big{]}\Big{)}$


$\overset{(2)}{\Rightarrow} (\exists\delta_1>0)\Big{(}\Big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\Big{]}\wedge \Big{[}(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\Big{]}\Big{)}$


$\overset{(2)}{\Rightarrow}\Big{[}(\exists\delta_1>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\Big{]}\wedge \Big{[}(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\Big{]}.$


Not: $(1)$ ve $(2)$ nolu geçişlerin gerekçesi: 

$(1)$ nolu geçişin gerekçesi: $\forall x(p(x)\wedge q(x))\equiv \forall xp(x)\wedge \forall xq(x)$

$(2)$ nolu geçişin gerekçesi: $\exists x(p\wedge q(x))\equiv p\wedge \exists xq(x)$

$--------------------------------------------------$

$(\Leftarrow):$ $i, \ (d_1\text{-}d_2)$  ve  $(d_2\text{-}d_1)$  düzgün sürekli ve $\epsilon>0$  olsun.


$\left.\begin{array}{rr} i, \ (d_1\text{-} d_2) \text{ düzgün sürekli} \\  \\ \epsilon>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\ldots (1)$


$\left.\begin{array}{rr} i, \ (d_2\text{-} d_1) \text{ düzgün sürekli} \\  \\ \epsilon>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\ldots (2)$


$(1),(2)\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)$


$\Rightarrow (\exists\delta_1>0)\big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge  (\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\big{]}$


$\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)\big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge  (\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\big{]}$


$\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)\big{[}(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\big{]}.$

(10.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
19,699 soru
21,400 cevap
71,873 yorum
224,454 kullanıcı