Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
513 kez görüntülendi

Aynı küme üzerinde tanımlı iki metriğin Lipschitz denk olması için gerek ve yeter koşul bu iki metrik uzay arasındaki birim fonksiyon ile bu birim fonksiyonun tersinin (inversinin) Lipschitz sürekli olmasıdır.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 513 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$(\Rightarrow): \ d_1\overset{L}{\sim} d_2$ olsun.
$------------------------------------$
(Amacımız  $i$  birim (özdeşlik) fonksiyonunun $(d_1\text{-}d_2)$ ve $(d_2\text{-}d_1)$ Lipschitz sürekli olduğunu yani $$(\exists k_1>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_2(i(x),i(a))\leq k_1 \cdot d_1(x,a))$$
ve
$$(\exists k_2>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_1(i(x),i(a))\leq k_2\cdot d_2(x,a))$$ önermelerinini doğru olduğunu göstermek.)
$------------------------------------$
$\left.\begin{array}{rr}d_1\overset{L}{\sim} d_2\Rightarrow (\exists \lambda,\mu>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(\lambda \cdot d_1(x,a)\leq d_2(x,a)\leq \mu \cdot d_1(x,a)) \\ \\ k_1:=\mu\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (\exists k_1 >0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_2(i(x),i(a))= d_2(x,a)\leq k_1 \cdot d_1(x,a)).$

O halde $i$ fonksiyonu $(d_1\text{-}d_2)$ Lipschitz süreklidir.

$\left.\begin{array}{rr}d_1\overset{L}{\sim} d_2\Rightarrow (\exists \lambda,\mu>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(\lambda \cdot d_1(x,a)\leq d_2(x,a)\leq \mu \cdot d_1(x,a)) \\ \\ k_2:=\frac1{\lambda}\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (\exists k_2>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_1(i(x),i(a))= d_1(x,a)\leq k_2 \cdot d_2(x,a)).$

O halde $i$ fonksiyonu $(d_2\text{-}d_1)$ Lipschitz süreklidir.

$(\Leftarrow): \ i, \ (d_1\text{-}d_2)$ ve $(d_2\text{-}d_1)$ Lipschitz sürekli olsun.

$\left.\begin{array}{rr} i, \ (d_1\text{-}d_2) \text{ Lipschitz sürekli}\Rightarrow (\exists k_1>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_2(i(x),i(a))\leq k_1 \cdot d_1(x,a)) \\ \\   i, \ (d_2\text{-}d_1) \text{ Lipschitz sürekli}\Rightarrow (\exists k_2>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_1(i(x),i(a))\leq k_2 \cdot d_2(x,a))\\ \\ \left(\lambda :=\frac{1}{k_2}\right)(\mu:= k_1) \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\lambda, \mu>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(\lambda\cdot d_1(x,a)\leq d_2(i(x),i(a))=d_2(x,a)\leq \mu \cdot d_1(x,a)).$
 
(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,218 soru
21,751 cevap
73,351 yorum
1,982,245 kullanıcı