$(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar ve $i:X\to X, i(x)=x$ olmak üzere $$d_1\overset{L}{\sim} d_2$$$$\Leftrightarrow$$$$(i, \ (d_1\text{-}d_2) \text{ Lipschitz sürekli})(i^{-1}=i, \ (d_2\text{-}d_1) \text{ Lipschitz sürekli})$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Aynı küme üzerinde tanımlı iki metriğin Lipschitz denk olması için gerek ve yeter koşul bu iki metrik uzay arasındaki birim fonksiyon ile bu birim fonksiyonun tersinin (inversinin) Lipschitz sürekli olmasıdır.

Answer 1

$(\Rightarrow): \ d_1\overset{L}{\sim} d_2$ olsun.

$------------------------------------$

(Amacımız  $i$  birim (özdeşlik) fonksiyonunun $(d_1\text{-}d_2)$ ve $(d_2\text{-}d_1)$ Lipschitz sürekli olduğunu yani $$(\exists k_1>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_2(i(x),i(a))\leq k_1 \cdot d_1(x,a))$$

ve

$$(\exists k_2>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_1(i(x),i(a))\leq k_2\cdot d_2(x,a))$$ önermelerinini doğru olduğunu göstermek.)

$------------------------------------$

$\left.\begin{array}{rr}d_1\overset{L}{\sim} d_2\Rightarrow (\exists \lambda,\mu>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(\lambda \cdot d_1(x,a)\leq d_2(x,a)\leq \mu \cdot d_1(x,a)) \\ \\ k_1:=\mu\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (\exists k_1 >0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_2(i(x),i(a))= d_2(x,a)\leq k_1 \cdot d_1(x,a)).$

O halde $i$ fonksiyonu $(d_1\text{-}d_2)$ Lipschitz süreklidir.

$\left.\begin{array}{rr}d_1\overset{L}{\sim} d_2\Rightarrow (\exists \lambda,\mu>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(\lambda \cdot d_1(x,a)\leq d_2(x,a)\leq \mu \cdot d_1(x,a)) \\ \\ k_2:=\frac1{\lambda}\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (\exists k_2>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_1(i(x),i(a))= d_1(x,a)\leq k_2 \cdot d_2(x,a)).$

O halde $i$ fonksiyonu $(d_2\text{-}d_1)$ Lipschitz süreklidir.

$(\Leftarrow): \ i, \ (d_1\text{-}d_2)$ ve $(d_2\text{-}d_1)$ Lipschitz sürekli olsun.

$\left.\begin{array}{rr} i, \ (d_1\text{-}d_2) \text{ Lipschitz sürekli}\Rightarrow (\exists k_1>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_2(i(x),i(a))\leq k_1 \cdot d_1(x,a)) \\ \\   i, \ (d_2\text{-}d_1) \text{ Lipschitz sürekli}\Rightarrow (\exists k_2>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_1(i(x),i(a))\leq k_2 \cdot d_2(x,a))\\ \\ \left(\lambda :=\frac{1}{k_2}\right)(\mu:= k_1) \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\lambda, \mu>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(\lambda\cdot d_1(x,a)\leq d_2(i(x),i(a))=d_2(x,a)\leq \mu \cdot d_1(x,a)).$