Lipschitz Denklik, Düzgün Denklik ve Topolojik Denklik Kavramlarına Dair

Question

$(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olmak üzere

$$d_1\overset{L}{\sim} d_2\Rightarrow d_1\overset{D}{\sim} d_2\Rightarrow d_1\overset{T}{\sim} d_2$$ olduğunu gösteriniz.

$$-------------------------------------------$$

Tanım (Lipschitz Denk Metrikler): $(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olmak üzere

$$d_1\overset{L}{\sim} d_2:\Leftrightarrow (\exists \lambda,\mu >0)(\forall x,y\in X)\left(\lambda d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq \mu d_1(x,y)\right)$$

$$-------------------------------------------$$

Tanım (Düzgün Denk Metrikler): $(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olmak üzere

$$d_1\overset{D}{\sim}d_2$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta_1,\delta_2>0)(\forall x,y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)]$$

$$-------------------------------------------$$

Tanım: $(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olmak üzere

$$d_1\overset{T}{\sim} d_2:\Leftrightarrow \tau_{d_1}=\tau_{d_2}$$

$$------------------------------------------$$

Not: $(X,d)$ metrik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$A,  d\text{-açık}:\Leftrightarrow (\forall a\in A)(\exists\epsilon >0)(B(a,\epsilon)\subseteq A)$$

$$\tau_d:=\{A|(A\subseteq X)(A,  d\text{-açık})\}$$

$$-------------------------------------------$$

Answer 1

$d_1\overset{L}{\sim} d_2$  ve  $\epsilon>0$  olsun.

$\left.\begin{array}{rr} d_1\overset{L}{\sim} d_2\Rightarrow (\exists \lambda,\mu>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(\lambda\cdot d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq \mu\cdot d_1(x,y)) \\ \\ \left(\delta_1:=\frac{\epsilon}{\mu}\right)(\delta_2:=\lambda\cdot \epsilon) \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\delta_1,\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)].$

$--------------------------------------$

$d_1\overset{D}{\sim} d_2$  ve  $\epsilon>0$  olsun.

$\left.\begin{array}{rr} d_1\overset{D}{\sim} d_2 \\ \\ \epsilon>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta_1,\delta_2>0)(\forall x\in X)[B_{d_1}(x,\delta_1)\subseteq B_{d_2}(x,\epsilon)\wedge B_{d_2}(x,\delta_2)\subseteq B_{d_1}(x,\epsilon)]$

$\overset{?}{\Rightarrow} (\forall x\in X)(\exists\delta_1,\delta_2>0)[B_{d_1}(x,\delta_1)\subseteq B_{d_2}(x,\epsilon)\wedge B_{d_2}(x,\delta_2)\subseteq B_{d_1}(x,\epsilon)].$

Not: Soru işaretinin olduğu yerdeki geçişin gerekçesi üzerinde epeyce düşünülmesinin faydalı olacağı kanaatindeyim. 

Comments

Geçişler arasındaki ilişkiyi daha iyi anlamak için bu linkteki ve şu linkteki bilgilerin faydalı olacağı kanaatindeyim. Lipschitz denk olan metriklerin düzgün denk olduğunun kanıtını da bir ara eklerim.

Answer 2

Yukarıda verilen denklik tanımlarını birim fonksiyon üzerinden karakterize ederek aralarındaki ilişkiyi farklı şekilde gösterebiliriz. $(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar ve $i:X\to X, i(x)=x$ olmak üzere

$$d_1 \overset{L}{\sim} d_2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(i:(X,d_1) \to (X,d_2) \text{ Lipschitz sürekli})(i^{-1}:(X,d_2) \to (X,d_1) \text{ Lipschitz sürekli})$$

$$-------------------------------$$

$$d_1 \overset{D}{\sim} d_2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(i:(X,d_1) \to (X,d_2) \text{ düzgün sürekli})(i^{-1}:(X,d_2) \to (X,d_1) \text{ düzgün sürekli})$$

$$-------------------------------$$

$$d_1 \overset{T}{\sim} d_2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(i:(X,d_1) \to (X,d_2) \text{ sürekli})(i^{-1}:(X,d_2) \to (X,d_1) \text{ sürekli})$$

$$-------------------------------$$

Bu durumda herhangi bir $f:(X,d_1)\to (X,d_2)$ fonksiyonu için

$$\text{Lipschitz sürekli} \Rightarrow \text{Düzgün sürekli} \Rightarrow \text{Sürekli}$$

gerektirmeleri olduğundan

$$d_1\overset{L}{\sim} d_2\Rightarrow d_1\overset{D}{\sim} d_2\Rightarrow d_1\overset{T}{\sim} d_2$$

olduğu kolayca görülür.