d1L∼d2 olsun. Amacımız (∀ϵ>0)(∃δ>0)(∀x,y∈X)(d1(x,y)<δ⇒d2(x,y)<ϵ)(d2(x,y)<δ⇒d1(x,y)<ϵ) önermesinin doğru olduğunu göstermek.
ϵ>0 verilmiş olsun.
d1L∼d2⇒(∃λ,μ>0)(∀x,y∈X)(λ⋅d1(x,y)≤d2(x,y)≤μ⋅d1(x,y))(δ1:=ϵμ)(δ2:=ϵ⋅λ)}ϵ>0⇒
⇒(δ1,δ2>0)(∀x,y∈X)(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)δ:=min{δ1,δ2}}⇒
⇒(∃δ>0)(∀x,y∈X)(d1(x,y)<δ⇒d2(x,y)<ϵ)(d2(x,y)<δ⇒d1(x,y)<ϵ).