Lipschitz Denk Metrikler-I

Question

$(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olmak üzere

$$d_1\overset{L}{\sim} d_2\Leftrightarrow (\exists k\geq 1)(\forall x,y\in X)\left(\frac1k d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq kd_1(x,y)\right)$$

olduğunu gösteriniz.

Tanım: $(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olmak üzere

$$d_1\overset{L}{\sim} d_2:\Leftrightarrow (\exists \lambda,\mu \in\mathbb{R}^+)(\forall x,y\in X)\left(\lambda d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq \mu d_1(x,y)\right)$$

Answer 1

Gerek ve yeter kısım dendiğine göre iki adımda kanıtlayacağız.

Gerek Kısmı: $d_1\overset{L}{\sim} d_2$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} d_1\overset{L}{\sim} d_2\Rightarrow (\exists\lambda,\mu\in\mathbb{R}^+)(\forall x,y\in X)(\lambda d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq \mu d_1(x,y)) \\  \\ k:=1+\mu+\frac1\lambda \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow(k\geq 1)(\forall x,y\in X)(\frac1kd_1(x,y)\leq \lambda d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq \mu d_1(x,y)\leq kd_1(x,y)).$

Yeter Kısmı:

$\left.\begin{array}{rr} \left(\lambda :=\frac1k\right)(\mu:=k)  \\  \\ \text{Hipotez}  \end{array}\right\}\Rightarrow (\lambda,\mu\in\mathbb{R}^+)(\forall x,y\in X)(\lambda d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq \mu d_1(x,y)).$