Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\emptyset\neq A\subseteq Y\subseteq X$ olmak üzere $$A, \ \tau\text{-kompakt}\Leftrightarrow A, \ \tau_Y\text{-kompakt}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Gerek Kısmı: $A, \ \tau$-kompakt olsun. 

$\left.\begin{array}{rr} A, \ \tau\text{-kompakt}\Rightarrow (A,\tau_A), \ \text{kompakt uzay} \\ \\ \emptyset\neq A\subseteq Y\subseteq X\Rightarrow\tau_A\overset{?}{=}(\tau_Y)_A \end{array} \right\}\Rightarrow (A,(\tau_Y)_A), \ \text{kompakt uzay}\Rightarrow A, \ \tau_Y\text{-kompakt}.$

Yeter Kısmı: $A, \ \tau_Y$-kompakt olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A, \ \tau_Y\text{-kompakt}\Rightarrow (A,(\tau_Y)_A), \ \text{kompakt uzay} \\ \\ \emptyset\neq A\subseteq Y\subseteq X\Rightarrow\tau_A\overset{?}{=}(\tau_Y)_A \end{array} \right\}\Rightarrow (A,\tau_A), \ \text{kompakt uzay}\Rightarrow A, \ \tau\text{-kompakt}.$

Not: Soru işaretlerinin gerekçesine buradaki linkten ulaşabilirsiniz.