Vektör uzaylarda, $V$ vektör uzayını üreten taban(base)larda anlamadığım durum.

Question

Konu lineer bağımlılık ile ilgili olduğundan şu bilgilere bakmalıyız:


$V$ , $K$ cismi üzerine vektör uzay olsun. $v_1,v_2,...,v_n$, $V$'nin elemanları olsun. Eğer $a_1,a_2,...,a_n\in K$ ve tüm $a_i$'ler $0$ a eşit olmadan $$\displaystyle\sum a_iv_i$$
toplamı $0$ oluyorsa, $v_1,v_2,...,v_n$, $K$ üzerine lineer bağımlı, eğer toplamın 0 olması için tüm $a_i$'lerin $0$'a eşit olması gerekiyorsa  $v_1,v_2,...,v_n$, $K$ üzerine lineer bağımsız denir.

bu tanımlardan sonra üretim/oluşturma/germe (generate) durumuna geliyoruz(aşağıdaki yazacaklarımı anlamadığım için tabanın vektör uzayını nasıl oluşturduğunu anlamamış olabilirim, tanımdan sonra açıklayacağım.)

Eğer $V$ vektör uzayının $v_1,v_2,...,v_n$ elemanları, $V$ vektör uzayını üretiyor(generate) deniliyorsa daha da öte $v_1,v_2,...,v_n$ elemanlar lineer bağımsızsa, o zaman $\{v_1,v_2,...,v_n\}$, $V$ vektör uzayının  tabanıdır(basis of V). 

Soru:Vektör uzayı üretmek nedir?

$V$ vektör uzayının ne olduğu belli değil sadece elemanları bazı aksiyomları sağlayan bir küme. Dolayısıyla burada $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ eğer bu vektör uzayını üretiyorsa bunu lineer bağımsız olmasıyla mı tanımlıyoruz? Yani sadece tanımlıyoruz evet şurada bir $V$ vektör uzayı var ve evet şurada bir $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ var ve bu $V$ 'nin tabanıdır biat edin. Çünkü $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ böyle bir yapı sadece lineer kombinasyonlar yapılarak bilmediğimiz bir $V$'yi nasıl üretebilir ki? Bunun ötesinde eğer biraz daha komplike şeyleri analiz etmeye çalışırsak, $V$ vektör uzayına ihtiyaç duyduğumuzda bu bilgileri direkt kabul etmek zorundayız(sanırım).

Soru:Lineer bağımlı olup olmamasının ne ifade ettiğini anlayamadım.

Yukarıda en başta verilen tanımda tüm katsayılar 0 olmadan da toplam 0 olabiliyorsa lineer bağımlı oluyor, pekala bu lineer bağımlı olup olmaması ne işe yarıyor sadece tanımsa tamamdır, ama şu bariz ki bu tanım çok şey ifade ediyor ve çoğu yerde karşımıza çıkıp kullanıyoruz ama dayandığı nokta nedir? Bir denklem sisteminin reel köklerinin olup olmaması mı lineer bağımlı olup olmamak? Tam olarak nedir?

Comments

Lineer bağımsız olmanın pek çok uygulaması mevcut. Sorun, bir vektör uzayına neden baz buluruz bu mu? Tam olarak problemini anlayamıyorum. Neye takılmaktasın?

---

ne kadar salakca bir soru sormuşum, herhangi linear cebir kitabını alıp biraz okusam anlayacakmışım...

---

Eğer önceden sorduğun bir soruyu "salakça" buluyorsan, bu o konuyu anladığını gösterir. Bunda utanılacak bir şey yok. Sorduğun hiç bir soru salakça değil (cevabı anlayana kadar). Cevabı anlayınca zaten "Haaa nasıl anlayamamışım" diyorsun. Ama işte o arada katettiğin mesafe önemli olan. 

Answer 1

Öncelikle, bir vektör uzayı sadece belli aksiyomları sağlayan bir küme değil, daha fazlası. Üzerinde bir işlem tanımlı, üstüne cisimden bir elemanla çarpma denen ikinci bir işlem tanımlı. 

Şimdi üretmek ne demek oluyor? Bu vektör uzayındaki bütün elemaları, sadece ${v_1 , v_2, ... , v_n}$ elemanlarını kullanarak yazabiliyorsak, yani her $ v \in V$ ve $x_1, x_2, ... , x_n \in K$ için $ v = x_1v_1 + ... + x_nv_n$ şeklinde yazılabiliyorsa bu küme $V$ vektör uzayını üretiyor diyoruz. Ancak bu yeterli değil. Bir de bu yazılımın biricik olmasını istiyoruz. Yani eğer $x_1, x_2, ... , x_n , y_1, y_2, ... , y_n \in K$ için, $ v = x_1v_1 + ... + x_nv_n$ ve $ v = y_1v_1 + ... + y_nv_n$ şeklinde yazılıyorsa, $x_1 = y_1 , ... , x_n = y_n$ olmasını istiyoruz. Bu ikinciyi de sağlıyorsa eğer bu kümeye $V$'nin bir tabanı diyoruz. Yani arkasındaki fikir şu: Her elemanı bu kümenin elemanlarının bir lineer kombinasyonu şeklinde yazmak ve bunu tek bir şekilde yapabilmek.