$S$ ve $F$ $V$ vektör uzayının birer alt uzayı olmak üzere boy$(S+F) $ $ =$ boy $S$ $+$ boy$F$ $-$ boy$(F\cap S) $'dir

Question

boyutlara sırasıyla m ve n dersek boy(S+F) neden direkt m+n değildir anlayamıyorum bir türlü. S=F iken önermenin doğruluğunu görebildim sadece. 

Comments

$A$ ve $B$ iki sonlu küme olduğunda, $s(A\cup B)=s(A)+s(B)$ oluyor mu? 

($s(A):A$ nın eleman sayısı)

---

$m+n$ sayısında arakesit alt uzayının bazındaki elemanlar iki kere sayıldığı için "düzeltmek" gerekiyor.

Şunları deneyebilirsin:

$\beta,\ S\cap F$ nin bir bazı olsun.

$\beta\subset \beta'$ olacak şekilde $S$ nin bir $\beta'$ bazı var mıdır?

$\beta\subset \beta''$ olacak şekilde $F$ nin bir $\beta''$bazı var mıdır?

$ \beta'\cup\beta'',\ S+F$ nin bir bazı olur mu?

---

Hocam $\beta$'yı $S+F$' de iki kez sayarız çünkü tanım gereği $S+F=\{C=A+B|A\in S ve B\in F\}$'dir. $\beta' \cup \beta "$'de ise bir defa sayarız lakin

 

$L(\beta ' \cup \beta ") =L(\beta ' ) + L(\beta ")$ değil miydi? O zaman burada iki defa saymış olmaz mıyız kesişimi? 

---

$L(\beta ' \cup \beta '') =L(\beta ' ) + L(\beta '')$ elbette doğru ama burada sayma işlem yok.

$\text{boy}(F)$ ile $\beta$ arasındaki ilişki ne?

---

bilmiyorum kafam çorba oldu biraz tekrar üstünden geçeceğim boyut kavramının

---

hocam, $ \{ H_1,...,H_n\} S\cap F$ için taban olsun. öyleyse boyutu $S$ ve $F$'den küçük eşittir ve bu kümeyi kendisinde bulunmayan vektörlerle genişletecek olursak eninde sonunda $S$'nin tabanı olan

$\beta' = \{H_1,...H_n, A_1,...A_m\}$ kümesine ulaşırız. aynı şekilde $F$'nin tabanı olan

$\beta ''=$ $\{H_1,...H_n,B_1...B_s\}$'e de ulaşırız. Bunların birleşimi $S+F $ için bir tabandır çünkü $C \in S+F$ ise $C=A+B$'lerden oluşur öyle ki  $A\in S $ ve $B\in F$'dir, dolayısıyla $C=H_1 (a_1+b_1) ...H_n (a_n+b_n)+a_{n+1} A_{1} +...+a_m A_m+b_{n+1} B_{1} +...+B_s b_s$' dir. Bu sorunuzun cevabı oluyor sanırsam. Öyleyse $n+m+s$=boy$(S+F) = $ boy$(S) +$ boy$(F) - $ boy$(S\cap F)$ $=n+m+n+s-n$

Answer 1

B={v(1),...,v(m),v(m+1),...,v(n)} V için bir baz olsun.

dim(V)=m+n dir.

Şimdi S ve T, V nin iki alt veķtör uzayı olmak üzere sırasıyla B1 ve B2 bu uzaylar için baz teşkil etsin.

B1={v(1),...,v(m),v(m+1),v(m+2)}

B2={v(m+1),v(m+2),...,v(n)} olsun.

dim(S)=m+2 ve dim(T)=n olur.

S∩T uzayı için {v(m+1),v(m+2)} nin bir baz teşkil ettiği aşikar. Yani dim(S∩T)=2 olur.

S+T içinde {v(1),...,v(m),v(m+1),...,v(n)} bir baz teşkil ettiği aşikar. Yani dim(S+T)=m+n olur.

dim(S+T)=dim(S)+dim(T)-dim(S∩T) olur.

Bir baz yazarken bazın elemanlarını birer kez yazarız. Kesişim uzayındaki bazın elemanları hem S'in bazının elemanı hem de T'nin bazının elemanı olduğu için bir kez çıkarmamız gerekir.

V vektör uzayı olsun. S ve T, V nin iki alt vektör uzayı olsun. S∩T={0v} ise S+T deki vektörler S deki ve T deki vektörlerin  toplamı olarak tektürlü yazılabilir, S+T uzayına da direkt toplam(direct sum) uzayı denir.

Bir tane direkt toplam uzayı, bir tane de kesişimleri 0 vektöründen farklı bir toplam uzayı için bazlar yazıp eşitlikleri sağlayabilirsin, anlamana yardımcı olacaktır.