$Y=V$ ise $F=0$ alırız ve sorun çözülür. $Y\neq V$ olsun ve $A_1...A_n$ Y nin tabanı olsun.
$L(A_1...A_n) \neq V$'dir. Öyleyse Y de bulunmayan bir $B_1$ vektörü alalım.
$B_1 \notin L(A_1...A_n)$'dir öyleyse $L(B_1,A_1...A_n)$ lineer bağımsızdır. Bu lineer bağımsız kümeyi $ L(B_1,...B_m, A_1...A_n)=V$ olana kadar genişletebiliriz çünkü V sonlu boyutludur.
şimdi $L(B_1... B_m)=F$ diyebiliriz çünkü biliyoruz ki $\{ B_1...B_m \}$' kümesi lineer bağımsız. Bu kümeye $S$ ötekine de $T$ dersek
$V=L(S \cup T) =L(S) + L(T)=Y+F$' dir.
$A\in Y\cap F$ olsun öyleyse
$A=a_1 A_1...a_n A_n=b_1 B_1+...b_m B_m$
$\leftrightarrow$
$0=a_1 A_1...a_n A_n-b_1 B_1+...b_m B_m$, $V$'nin tabanıdır dolayısıyla lineer bağımsız olduğundan $a_1=...a_n=b_1=...b_m=0$ dolayısıyla $A=0$ dır.