Sürekliliği tam olarak anlamak.$f:\mathbb Z\to\mathbb R$ sürekli midir?

Question

Önerme:

$f:\mathbb Z\to\mathbb R$ olan herhangi bir fonksiyon süreklidir.

Süreklilik tanımına bakmaksızın eğer direkt bu önermeyi görürsek oldukça ilginç gelecektir zira sürekliliği "elimizi kaldırmadan çizdiğimiz fonksiyon grafikleri" sanırız.


Ancak tamsayıların aralarında $1$ er birimlik boşluk olduğundan grafiğini çizersek, hiç de sürekli gözükmez, peki bu fonksiyonlar gerçekten sürekli midir?(Bu fonksiyonlar:$(f_i:\mathbb Z\to\mathbb R)_i$)

$$---------------$$

$$\boxed{\text{Süreklilik tanımı}(f:A\to \mathbb R \text{  ve  x=c,A'da sürekliyse)}\\ \text{ }\\(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(c)|<\epsilon)}$$

Comments

uygun bir delta seçersek her epsılonun için bu onerme dogru oluyor $\delta<1$ için mesela ama amacım konuyu buradan, $\left(f_i:\mathbb Z\to \mathbb R\right)_i$ fonksiyonların türevlenmesine getirmek.

---

$$\mathbb{Z}\cap D(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\cap \emptyset=\emptyset$$ olduğundan $$f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R}$$ fonksiyonunun hiçbir noktası için türev söz konusu edilmez.

---

Bu linki de incelemek de fayda var.

---

teşekkürler aklıma gelen durum oydu ama lınkı bulamadım,

sorum şu, 

$D(mathbb)$ tanımı nedır? neden kesişime bakıyoruz? Bildigim basıt calculus tanımlarını bunlara uydurabılırım ama ılerı okuma ve tanımlar mevcutsa eger ulaşabılırsem super ıyı olur hocam .

---

$$D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$$

Robert Bartle'ın Introduction to Real Analysis kitabını incelemeni tavsiye ederim.

Answer 1

Tanım kümesi $$\mathbb{Z}$$ tamsayılar kümesi olan her fonksiyon (kuralı ne olursa olsun) -birçok kişinin bildiğinin ve iddia ettiğinin aksine- süreklidir. "Elimizi kaldırmadan grafiğini çizebildiğimiz fonksiyonlar süreklidir" bilgisi tanım kümesi sadece ARALIK olan fonksiyonlar için geçerli olan bir söylemdir. Takdir edileceği üzere her fonksiyonun tanım kümesinin bir aralık olması GEREKMEZ. Tıpkı bu soruda olduğu gibi. Burada da $c\in\mathbb{Z}$ olmak üzere $\epsilon$ pozitif sayısı ne olursa olsun $\delta$ sayısı $0<\delta\leq 1$ seçilirse $$|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(c)|<\epsilon$$ koşulu sağlanır (Neden?) yani $$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in\mathbb{Z})(|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(c)|<\epsilon)$$ önermesi doğru yani $$f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu $$x=c$$ noktasında sürekli olur. $c$ keyfi olduğundan demek ki $f$ fonksiyonu $\mathbb{Z}$ üzerinde süreklidir.