Çembersel olmayan yörüngelerde dolanan gezegenlerin, odakdaki merkezi yıldıza olan kütleçekimi ve merkezkaç kuvvetini genelleştiriniz.

Question

 

Soru :Çembersel olmayan yörüngelerde dolanan gezegenlerin, odakdaki merkezi yıldıza olan kütleçekimi ve merkezkaç kuvvetini genelleştiriniz.

Biliyoruz ki kepler ve diğer gözlemci teorik bilim adamlarının ve şuanda yapılan kesin hesapların sonucu, merkezde güneş olan bir çembersel yorungede degıl elips veya elipse benzer bır yorungede dolanıyoruz, gerekli verileri kullanarak yukarıdaki genelleştirmeyi yapınız veya çabalayınız.



Bağlantılar:

http://matkafasi.com/101428/cembersel-yorungelerde-suresince-overrightarrow-overrightarrow

http://matkafasi.com/101502/tegetleri-ilgili-tegetlere-dogrularin-kesisiminin-geometrik

http://matkafasi.com/102120/dinamik-cekimi-kaynaklanir-mathcal-overrightarrow-m_1m_2

http://matkafasi.com/103575/korunumlu-kuvvetler-nedir

http://matkafasi.com/102898/parcacigin-degisimine-gosteriniz-overrightarrow-overrightarrow

Answer 1

Aşşağıdaki hesap, genel yörüngeler için verilen diferansiyel denklemleri içeriyor, bazı bilgileri kullanarak ve bir hata aralığı ile çembersel yörüngeler ile eliptik yörüngeler ileriki zamanlarda karşılaştırılıcaktır.



$\phi$ açısını $\phi=\overrightarrow \omega(t).t$  diye tanımlayalım,($\omega$ açısal hızı zamanla değiştiğinden $t$'ye bağlı)

$$\overrightarrow r=\left|\overrightarrow r(t)\right|(cos(\omega(t)t)\overline x+sin(\omega(t)t)\overline y)$$
$$\to$$
$$\dfrac{d}{dt}\left(\overrightarrow r\right)=\overrightarrow v(t)=\left|\overrightarrow r(t)\right|(\omega'(t).t+\omega)(-sin(\omega(t)t)\overline x+cos(\omega(t)t)\overline y)$$   
$$\to$$
$$\dfrac{d^2}{dt^2}\left(\overrightarrow r\right)=\overrightarrow a(t)=\left|\overrightarrow r(t)\right|  \left[(\omega''(t).t+2\omega'(t))(-sin(\omega(t)t)\overline x+cos(\omega(t)t)\overline y)+(\omega'(t)t+\omega(t))^2(-cos(\omega(t)t)\overline x+-sin(\omega(t)t)\overline y)\right]$$

$$------------------------------$$

$$-sin(\omega(t)t)\overline x+cos(\omega(t)t)\overline y=\dfrac{\overrightarrow v(t)}{|\overrightarrow r(t)|(\omega'(t)t+\omega(t))}$$

$$Ve$$

$$-cos(\omega(t)t)\overline x-sin(\omega(t)t)\overline y=-\dfrac{\overrightarrow r(t)}{|\overrightarrow r(t)|}$$

$$olduğundan;$$

$$------------------------------$$

$$\boxed{\dfrac{d^2}{dt^2}\left(\overrightarrow r\right)=\overrightarrow a(t)=\left|\overrightarrow r(t)\right|\left[(\omega''(t)t+2\omega'(t))\left(\dfrac{\overrightarrow v(t)}{|\overrightarrow r(t)|(\omega'(t)t+\omega(t))}\right)+(\omega'(t)+\omega(t))^2\left(-\dfrac{\overrightarrow r(t)}{|\overrightarrow r(t)|}\right)\right] }$$

Daha sade hali ile;


$$\boxed{\boxed{\overrightarrow a(t)=\overrightarrow v(t)\dfrac{\omega''(t)t+2\omega'(t)}{\omega'(t)t+\omega(t)}-(\omega'(t)+\omega(t))^2\overrightarrow r(t) }}$$

Çemberde $w(t)$ sabit olduğundan türevleri 0 dır dolayısıyla bu genel denklem, polar yazılabilen çoğu yörünge hareketinde işe yarar.

Comments

Anıl hocam.Fizik uzak bana ( yani lisans fizik) ama merakım dışında değil.son cümlenizde ''polar yazılabilen çoğu yörünge hareketi'' derken neyi kastettiniz?

Merakım yazdığınız denklemin yorumu değil bahsettiğiniz yörüngelerin polar olup olmadığını anlayabiliyor muyuz ( teorik veya gözlemsel veya başka şekilde ) yoksa bu sadece yukarıda çizdiğiniz yörüngeye bağlı bir çıkarım mı oluyor? Yani fizikte böyle bir sınıflandırma mevcut mu?

{Ha niye merak ettim? İçinde matematik var bir :-) ikincisi merak işte :-) }

Eğer böyle bir şey varsa (belirlenebiliyorsa) bir yörüngeye sahip gezegenlerin yörüngelerini belirleyen yıldızın karakteristiği ile mi ilgili?( kütle-hız-yaş gibi) 

Genel anlamda soruyorum hocam.Teşekkürler

Veya daha kestirme yol derseniz :-)Hangi kitap ile başlayalım.

---

Hocam selamlar, meraklı olmanız mükemmel bir şey ve pek nadir :)

''polar yazılabilen çoğu yörünge hareketi''  bu önermeyi silip yerine şunu koymak istiyorum;

"polar kutupsal koordinatlama yapılabilen ve verilen aralıkta ilk 2 türevi tanımlı tüm fonksiyonlar" dolayısıyla artık yörünge şekli hakkında endişelenmeme gerek kalmıyor ancak bu fizik olduğundan ve yörüngeler, istisnai durumlar hariç, mantıklı şekillerde gözüktüğünden $e$ katsayısına göre değişen koniklerden bahsedebiliriz, seçtiğimiz bir merkez noktaya göre kutupsal koordinat tanımlıyoruz ve yapmamız gereken ivmeyi bulmak yani türev almak.

Önemli bir nokta, yörüngeler belli göreceli sistemler üzerine tanımlanmalıdır aksi taktirde anlamsızlardır ve tanımsızlardır.Bir yörünge S göreli sistemine göre doğru parçası, S' göreli sistemine göre ovalimsi yörünge özelliği gösterebilir(bir yıldız etrafında xy düzleminde dönen bir gezegene, çok uzaklardan bakalım, öyle bakış noktaları vardırki, xy düzleminde yıldız etrafında dönen gezegen doğru parçası üzerinde harmonik hareket yapar https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion ve öbür noktalardan elips veya çember yörünge çizer.)


Tam bir sınıflandırma var mıdır bilmiyorum, belki bir fizikçi amca bir kitabının bir köşesine yazmıştır kim bilir :) 


Yıldız karakteristliği ile ilgili , bkz ilgili

http://matkafasi.com/100442/uydu-yorungesi-neye-bagli
http://matkafasi.com/102120/dinamik-cekimi-kaynaklanir-mathcal-overrightarrow-m_1m_2?show=102458#a102458

Kitap olarak;

*[Charles_Kittel,_Walter_D._Knight,_Malvin_A._Ruder- BERKELEY MECHANİCS

**Second Year Calculus From David M. Bressoud Celestial Mechanics to Special Relativity Undergraduate Texts in Mathematics - Readings in Mathematics

***Kleppner-D.-Kolenkow-R.J.-Introduction-to-Mechanics-2014

---

Öncelikle zahmet ettiniz teşekkür ederim.

1-)**Second Year Calculus From David M. Bressoud Celestial Mechanics to Special Relativity Undergraduate Texts in Mathematics - Readings in Mathematics  yabancı gelmiyor.Okuma sırasına aldım

2-) ''Önemli bir nokta, yörüngeler belli göreceli sistemler üzerine tanımlanmalıdır aksi taktirde anlamsızlardır ve tanımsızlardır.Bir yörünge S göreli sistemine göre doğru parçası, S' göreli sistemine göre ovalimsi yörünge özelliği gösterebilir(bir yıldız etrafında xy düzleminde dönen bir gezegene, çok uzaklardan bakalım, öyle bakış noktaları vardırki, xy düzleminde yıldız etrafında dönen gezegen doğru parçası üzerinde harmonik hareket yapar  ve öbür noktalardan elips veya çember yörünge çizer.) ''

Teorik olarak merakımı uyandıran bir cümle oldu.Göreceli olma kısmından ziyade bunu belirten göreli sistemlerdeki yörünge şekilleri.'' hangi sistemlerde hangi şekil ?'' (ilgi çekici 20 yıl öncesinden kalan ( keyfi başkaydı itiraf edeyim) homomorfizma topoloji derken elle tutulur bir şey :-D )

3-) "polar kutupsal koordinatlama yapılabilen ve verilen aralıkta ilk 2 türevi tanımlı tüm fonksiyonlar" Bu fonksiyonlar sürekli (diyelim başlangıç olarak) oysa yörünge şekillerinde hiç mi sapma yok? Veya neye göre göz ardı ediyoruz-etmiyoruz?

''istisnai durumlar hariç, mantıklı şekillerde gözüktüğünden ee katsayısına göre değişen koniklerden bahsedebiliriz'' cümlenize göre bu yörünge şekilleri tam standart( yani net-tam karşılığını bulamadım :-) ) değil.Yani sadece genel bir şekil söz konusu( bir aile yani-işte eliptik,hiperbolik vb.) doğru mu anladım.

Teşekkürler

---

Ne demek, büyük zevk, zaten sitenin asıl amacı bu :) 

2,3-)Yorungelerın matematıksel sınıflandırılmasında gerçekten hıçbir bilgim yok ancak fizik kitaplarında fizik yaptıgını iddia eden fizikci hocalar gibi yorumluyorum ancak :)

Mesela şurda saçmaladıgım gibi
http://matkafasi.com/103268/geometrik-geometrik-bolgelerde-fonksiyonu-tanimlaniyor

Yörüngelerdeki sapmalar bazan ciddi boyutlara varabılıyor

bkz 1:https://tr.wikipedia.org/wiki/Merk%C3%BCr#Merk.C3.BCr.27.C3.BCn_kendi_ekseni_etraf.C4.B1nda_d.C3.B6n.C3.BC.C5.9F.C3.BC 

bkz 2:http://matkafasi.com/65600/%24r_-mu-nu-dfrac-1-2-rg_-mu-nu-lambda-g_-mu-nu-%24-%24-dfrac-pi-4-t_-mu-nu-%24

Ama genelde yorungeler için polinomikpolasyon https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

uygulanıyor dıye bılıyorum veya bu tarz non-lineer yöntemler (tam bilmıyorum :( )

kategorı ve grup teorılerı ve bu fızıgın bu mekanık kısmını ıyı ogrenırsem daha güzel bir analiz yapabilecegime inanıyorum ama şımdılık cahilim malesef :)

Bu arada bu verdıgım genel denklem için kepler ve newton yasalarını kullanarak ve belkı de bıraz error kullanarak, $a=\omega^2R$ yani çembersel açısal ivmeye benzetebilecegime inanmaya başladım :)(dünya ve gunes arası c sabitinin 1 e çok yakın olması da buna etmen)

---

''Yörüngelerdeki sapmalar bazan ciddi boyutlara varabılıyor

bkz 1:https://tr.wikipedia.org/wiki/Merk%C3%BCr#Merk.C3.BCr.27.C3.BCn_kendi_ekseni_etraf.C4.B1nda_d.C3.B6n.C3.BC.C5.9F.C3.BC 

bkz 2:http://matkafasi.com/65600/%24r_-mu-nu-dfrac-1-2-rg_-mu-nu-lambda-g_-mu-nu-%24-%24-dfrac-pi-4-t_-mu-nu-%24

Ama genelde yorungeler için polinomikpolasyon https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation''

Şimdilik bu kısım ile idare edeceğim.:-) yukarıdakilere cevap olabilecek yorumlar.Gerisi google amcaya sorularak ilerler

''2,3-)Yorungelerın matematıksel sınıflandırılmasında gerçekten hıçbir bilgim yok ancak fizik kitaplarında fizik yaptıgını iddia eden fizikci hocalar gibi yorumluyorum ancak :)'' son kısmına katılmıyorum.Bu göreceli :-) bana göre siz baya baya fizikten anlıyorsunuz.Şaka bir yana bu sınıflandırmayı gerçekten merak ettim

http://gen.lib.rus.ec/  arama yapmaya başlayacağım ilk yer .sonrası google amca

içtenlikle Teşekkür ediyorum sağolun

Dipçe :Böyle bir sınıflandırma yapılmamış ise ne güzel bir tez konusu değil mi ( tabii yapılabilir mi acaba  )

---

Siz de sagolun hocam çok teşekkür ediyorum. :)