Çembersel yörüngelerde, hareket süresince merkeze doğru olan merkezcil ivmenin $\overrightarrow a=\dfrac{\overrightarrow {v}^2}{r}$ olduğunu gösterip ispat ediniz.

3 beğenilme 0 beğenilmeme
78 kez görüntülendi

İspatın bir kaç yolu mevcut.

Vektör diyagramı çevresi için alınan yol zaman mantığı,

Trigonometri kullanarak koordinatları atama...



image

13, Aralık, 2016 Lisans Teorik Fizik kategorisinde Anil (7,670 puan) tarafından  soruldu

Elips olunca $r$ ne olacak?

$r(t)$ cinsinden bir eşitlik olucak.Elips olunca $r_i$ lerin birbirine her zaman eşit olmadığı bariz diye eklemedim ama elipsle ilgili bir görsel eklıyorum hemen.

ve bellı bır merkez yok , dedıgınız noktayı anladım duzeltıyorum.

Tamam hocam duzelttım ayrıca bu uyarınızdan guzel 1-2 soru cıkıcak gıbı.

Düzeltme önerisi: $\overrightarrow v^2$ skaler çarpımda (adı üstünde) "skaler" çıkacağından, vektörel çarpımda da $0$ çıkacağından hiçbir zaman $\overrightarrow a$ olmuyor sanki.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Hızın büyüklüğü değişmediğinden,

$|\vec{v_1}|=|\vec{v_2}|=|\vec{v}|$ yazılabilir.

Ortalama ivme,

$a_{ave}=\dfrac{\vec{v_2}-\vec{v_1}}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ (1)

Benzer şekilde,

$t_1$ ve $t_2$ anlarındaki yarıçap ve hız değişimini çizersek,

$\dfrac{\Delta v}{v}=\dfrac{\Delta r}{r} \Rightarrow \Delta v=\dfrac{v}{r} \Delta r$ (2)

2. eşitlikteki $\Delta v$'yi 1. eşitlikte yazarsak,

$\vec{a}=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\left (  \dfrac{v}{r} \Delta r \right )\dfrac 1 {\Delta t}$

$\dfrac{\Delta r}{ \Delta t}=v$ olduğundan,

$\vec{a}=\dfrac{\vec{v}^2}{r}$

14, Aralık, 2016 funky2000 (4,520 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Yukarıdaki şekildeki gibi, orijinden kütleye doğru çizilen vektörün esas açısı $\theta$ olsun. Bu durumda hız vektörü $\overrightarrow v=|\overrightarrow v|(-i\sin\theta+j\cos\theta)$ olur. Burada şu hesabı yapalım.

$\overrightarrow a.dt=d \overrightarrow v$ (1)

$d\theta=\omega. dt$ (2)

2. denklemdeki $\theta$ taranan açıdır. Bu durumda 1 ve 2 numaralı eşitlikleri taraf tarafa çarparsak 

$ \overrightarrow a.d\theta=\omega.d \overrightarrow v$ (3)

eşitliğini elde ederiz. 3 numaralı eşitliği düzenlersek

$\displaystyle \overrightarrow a=\omega\frac{d \overrightarrow v}{d\theta}=\omega|\overrightarrow v|(-i\cos\theta-j\sin\theta)$ (4)

buluruz. 

$\omega=\frac{|\overrightarrow v|}{r}$ (5)

olduğunu göz önünde bulundurup 4 numaralı denklemde yerine koyarsak

$\overrightarrow a=\frac{|\overrightarrow v|}{r}|\overrightarrow v|(-i\cos\theta-j\sin\theta)=\frac{|\overrightarrow v|^2}{r}(-i\cos\theta-j\sin\theta)$ (6)

olduğunu rahatlıkla görebiliriz. 6. ve son denklemden çıkan sonuç, ivme konum vektörüne ters yönde (yani merkeze doğru) ve büyüklüğü yukarıda ispatlanması istendiği gibi

$\displaystyle a=\frac{v^2}{r}$

olur.

17, Aralık, 2016 sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  cevaplandı
17, Aralık, 2016 sonelektrikbukucu tarafından düzenlendi

5. eşitlik doğru olsa da bana biraz acemice görünüyor, yani vektörel olarak da yazılabilirdi sanırım. Ama henüz o seviyede bilgim olmadığından bu gösterimi tercih ettim.

...