Gezegenden ayrılma enerjisi,hız'ı ve gezegen yörüngesinde kalmak için gereken enerji,hız'ı genelleştirin.

Question

Şekildeki yönde $v$ hızı ile fırlatılan $M$ cismi için gezegenden ayrılma enerjisini ve hız'ı ve gezegen yörüngesinde kalmak için gereken enerji ve hız'ı genelleştirin.(genel bir denklem bulunuz.)



İlgili:

Enerji potansiyel genel denklemi,

Kinetik enerjisi aksiyom denklemi,

Mekanik enerji korunumu.

Answer 1

Cevap 1: Cismin gezegenden ayrılması için gerek ve yeter hız:

Cisme bir ilk hız verilecek ve daha sonra sürtünmesiz ortamda gezegenden ayrılması sağlanacak,

Eğer gezegenden ayrılabiliyorsa, hız verildiği andaki kinetik enerjisi, çekim potansiyelini yenmesi gerekmektedir, öyle ki;


$$\dfrac12mv^2\ge G\dfrac{mM_{\oplus}}{r}$$$$\to$$$$\color{green}{\boxed{\boxed{\color{red}{v}\ge \sqrt{\dfrac{2GM_{\oplus}}{r}}}}}$$



Cevap 2: Cismin gezegenin yörüngesinde kalması için gereken hız:

Yörüngede iken, cismin üzerine 2 kuvvet etki eder:

$1.$ Yerçekimi,

$2.$ Merkezkaç itim kuvveti.

Ancak bunlar eşitse, cisim yörüngede kalabilir.

$$\dfrac{GmM_{\oplus}}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$$
$$\to$$
$$\color{green}{\boxed{\boxed{\color{red}{v}= \sqrt{\dfrac{GM_{\oplus}}{r}}}}}$$