Kuvvetin yaptığı işin parçacığın kinetik enerji değişimine eşit olduğunu gösteriniz. $\triangle \overrightarrow {E_k}=\overrightarrow W$

Question

$$\boxed{\triangle \overrightarrow {E_k}=\overrightarrow W}$$
Sadece Newtonun 2. kanununu kullanmak yetiyor, istenilirse başka gösterim/ispatlar da makbule geçer.

Eylemsiz bir referans sisteminde, bir parçacık üzerindeki net kuvvet onun çizgisel momentumunun zaman ile değişimi ile orantılıdır: $$\boxed{\boxed{F=ma=\dfrac{d}{dt}\left(mv\right)}}$$ Kuvvet ve momentum vektörel nicelikler olduğundan net kuvvet cisim üzerine etki eden tüm kuvvetlerin vektörel toplamı ile bulunur.

"Bir cisim üzerindeki net kuvvet, cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir."


İş: $$\boxed{\boxed{W=Fx}}$$

Kinetik Enerji: $$\boxed{\boxed{E_{k}=\dfrac{mv^2}{2}}}$$

İlgili: Momentum korunumu:http://matkafasi.com/102013

Örnek için tıklayınız:
http://matkafasi.com/103239/enerji-degisimi-ile-ilgili-2-ornek

Answer 1

İş ve enerji kavramlarını incelediğimizden, dış etmenler, sürtünmeler ve diğer olasılıklardan arınmış bir eylemsiz göreli sistem ele alalım.

$*$  Bir $\overrightarrow F$ kuvveti parçacığı $t_0$ zaman başlangıcından itibaren etkilesin ve kuvvetin doğrultusu ve değeri değişmesin.

Doğrultuyu $x$ olarak seçelim, uygulanan bu kuvvetten dolayı bir hız oluşur ve newton'un $2$. yasası gereği;

$$\overrightarrow F=m\dfrac{d^2\overrightarrow{x(t)}}{dt^2}$$

$t-t_0$ zaman sonra yani $t$ zamanda kazanılıcak hız:

$$\displaystyle\int_{v_0}^{v} d\overrightarrow v=\dfrac1m\int_{t_0}^{t}\overrightarrow Fdt$$

$$=$$

$$v-v_0=\dfrac1m\left(\overrightarrow Ft-\overrightarrow Ft_0\right)$$

$$=$$

$$(t_0=0)\quad\Rightarrow\quad v-v_0=\dfrac1mFt\tag 1$$
$$\Rightarrow$$

$$t=\dfrac mF(v-v_0)\tag2$$
$(1)$ için zamana göre integral alıp konumları bulalım;
$$\left(v=\dfrac{d\overrightarrow {x(t)}}{dt}\right)\quad\Rightarrow\quad \displaystyle\int vdt=\int d\overrightarrow {x(t)}=\int\left(v_0+\dfrac1mFt\right)dt$$
$$\Rightarrow$$
$$\overrightarrow{x(t)}-x_0=v_0t+\dfrac1{2m}Ft^2\tag3$$  

$(2)$'de bulunan ifadeleri $(3)$'de yerine yazalım;


$$\overrightarrow{x(t)}-x_0=v_0\left(\dfrac mF(v-v_0)\right)+\dfrac1{2m}F\left(\dfrac mF(v-v_0)\right)^2$$  
$$\equiv$$
$$\overrightarrow{x(t)}-x_0=\dfrac{m}{2F}\left(v^2-v_0^2\right)$$
$$\equiv$$
$$F\left(\overrightarrow{x(t)}-x_0\right)=\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{1}{2}mv_0^2$$

Birim sağlaması yapalım ;

$m:kg$

$v=m/s$

$a=m/s^2$

$x=m$

Olduğundan;

$$F\left(\overrightarrow{x(t)}-x_0\right)=\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{1}{2}mv_0^2$$
$$\equiv$$
$$\underbrace{kg m/s^2}_{F=ma} \underbrace{(m)}_{x(t)}=\underbrace{kg}_{m} \underbrace{(m/s)^2}_{v^2}$$

Birimler sağlanıyor bulduğumuz sonuç tutarlı.


Kinetik enerji:
$$E_k(v,m)=\dfrac{1}{2}mv^2$$  diye tanımlandığından ve iş tanımı soruda verildiğinden;

$$\boxed{\boxed{F\left(x-x_0\right)=Fx=W=\triangle E_k=E_k(v,m)}}$$