Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
778 kez görüntülendi

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A=\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}\subseteq 2^X$$ ailesinin $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için her zaman baz olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 778 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$X$  bir küme olmak üzere $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{P}(X)$ ailesinin $X$ üzerindeki bir $\tau$  topolojisine baz olabilmesi için gvyk

$b_1) \cup\mathcal{B}=X$

$b_2) A,B\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A\cap B=\cup\mathcal{A})$

koşullarının gerçeklenmesidir.

$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A=\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}\subseteq 2^X$ ailesinin bu koşulları gerçeklediğini gösterelim.

$b_1)$ $\bigg(\overset{\circ}{\overline{X}}=\overset{\circ}{X}=X\bigg)\Rightarrow X\in \mathcal{B}\Rightarrow\cup\mathcal{B}=X$

$b_2)$ $A,B\in\mathcal{B}$  olsun.

$$A,B\in\mathcal{B}$$

$$\Rightarrow$$

$$(A=\overset{\circ}{\overline{A}})(B=\overset{\circ}{\overline{B}})$$

$$\Rightarrow$$

$$A\cap B=\overset{\circ}{\overline{A}}\cap \overset{\circ}{\overline{B}}$$

$$\Rightarrow$$

$$\left.\begin{array}{ccc}A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ \\ \overline{A\cap B}\subseteq\overline{A}\cap\overline{B} \end{array}\right\}\Rightarrow(\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})\subseteq A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$(A\cap B)^\circ\subseteq (\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})\subseteq A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$(\overset{\circ}{\overline{A}}\cap \overset{\circ}{\overline{B}})^\circ=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ\subseteq (\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})\subseteq A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$(A\cap B)^\circ=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ=(\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})=A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$A\cap B=(\overline{A\cap B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$A\cap B\in\mathcal{B}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists\mathcal{A}=\{A\cap B\}\subseteq\mathcal{B})(A\cap B=\cup\mathcal{A})$$

           $\therefore$   $\mathcal{B}=\left\{A\big{|}A=\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}$ ailesi $X$ üzerindeki bir topoloji için her zaman bazdır.
(549 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Daha önce dikkat etmemişim Merve. Alttan 10. satırda sanırım bir hata var. Bi kontrol et bakalım.

20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,123,367 kullanıcı