Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
690 kez görüntülendi

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A=\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}\subseteq 2^X$$ ailesinin $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için her zaman baz olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.2k puan) tarafından  | 690 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$X$  bir küme olmak üzere $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{P}(X)$ ailesinin $X$ üzerindeki bir $\tau$  topolojisine baz olabilmesi için gvyk

$b_1) \cup\mathcal{B}=X$

$b_2) A,B\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A\cap B=\cup\mathcal{A})$

koşullarının gerçeklenmesidir.

$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A=\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}\subseteq 2^X$ ailesinin bu koşulları gerçeklediğini gösterelim.

$b_1)$ $\bigg(\overset{\circ}{\overline{X}}=\overset{\circ}{X}=X\bigg)\Rightarrow X\in \mathcal{B}\Rightarrow\cup\mathcal{B}=X$

$b_2)$ $A,B\in\mathcal{B}$  olsun.

$$A,B\in\mathcal{B}$$

$$\Rightarrow$$

$$(A=\overset{\circ}{\overline{A}})(B=\overset{\circ}{\overline{B}})$$

$$\Rightarrow$$

$$A\cap B=\overset{\circ}{\overline{A}}\cap \overset{\circ}{\overline{B}}$$

$$\Rightarrow$$

$$\left.\begin{array}{ccc}A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ \\ \overline{A\cap B}\subseteq\overline{A}\cap\overline{B} \end{array}\right\}\Rightarrow(\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})\subseteq A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$(A\cap B)^\circ\subseteq (\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})\subseteq A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$(\overset{\circ}{\overline{A}}\cap \overset{\circ}{\overline{B}})^\circ=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ\subseteq (\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})\subseteq A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$(A\cap B)^\circ=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ=(\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})=A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$A\cap B=(\overline{A\cap B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$A\cap B\in\mathcal{B}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists\mathcal{A}=\{A\cap B\}\subseteq\mathcal{B})(A\cap B=\cup\mathcal{A})$$

           $\therefore$   $\mathcal{B}=\left\{A\big{|}A=\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}$ ailesi $X$ üzerindeki bir topoloji için her zaman bazdır.
(549 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Daha önce dikkat etmemişim Merve. Alttan 10. satırda sanırım bir hata var. Bi kontrol et bakalım.

20,150 soru
21,692 cevap
73,165 yorum
1,633,060 kullanıcı