Topolojik Uzaylarda Baz-IV

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A=\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}\subseteq 2^X$$ ailesinin $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için her zaman baz olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$X$  bir küme olmak üzere $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{P}(X)$ ailesinin $X$ üzerindeki bir $\tau$  topolojisine baz olabilmesi için gvyk

$b_1) \cup\mathcal{B}=X$

$b_2) A,B\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A\cap B=\cup\mathcal{A})$

koşullarının gerçeklenmesidir.

$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A=\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}\subseteq 2^X$ ailesinin bu koşulları gerçeklediğini gösterelim.

$b_1)$ $\bigg(\overset{\circ}{\overline{X}}=\overset{\circ}{X}=X\bigg)\Rightarrow X\in \mathcal{B}\Rightarrow\cup\mathcal{B}=X$

$b_2)$ $A,B\in\mathcal{B}$  olsun.

$$A,B\in\mathcal{B}$$

$$\Rightarrow$$

$$(A=\overset{\circ}{\overline{A}})(B=\overset{\circ}{\overline{B}})$$

$$\Rightarrow$$

$$A\cap B=\overset{\circ}{\overline{A}}\cap \overset{\circ}{\overline{B}}$$

$$\Rightarrow$$

$$\left.\begin{array}{ccc}A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ \\ \overline{A\cap B}\subseteq\overline{A}\cap\overline{B} \end{array}\right\}\Rightarrow(\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})\subseteq A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$(A\cap B)^\circ\subseteq (\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})\subseteq A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$(\overset{\circ}{\overline{A}}\cap \overset{\circ}{\overline{B}})^\circ=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ\subseteq (\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})\subseteq A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$(A\cap B)^\circ=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ=(\overset{\circ}{\overline{A\cap B}})=A\cap B=(\overline{A}\cap\overline{B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$A\cap B=(\overline{A\cap B})^\circ$$

$$\Rightarrow$$

$$A\cap B\in\mathcal{B}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists\mathcal{A}=\{A\cap B\}\subseteq\mathcal{B})(A\cap B=\cup\mathcal{A})$$

           $\therefore$   $\mathcal{B}=\left\{A\big{|}A=\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}$ ailesi $X$ üzerindeki bir topoloji için her zaman bazdır.

Comments

Daha önce dikkat etmemişim Merve. Alttan 10. satırda sanırım bir hata var. Bi kontrol et bakalım.