Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
652 kez görüntülendi

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A\subseteq\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}\subseteq 2^X$$ ailesi, $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için her zaman baz mıdır? Cevabınızı kanıtlayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 652 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathbb{R}$ üzerinde  $\tau=\{A|A^t$ $\text{sonlu}\}\cup\{\emptyset\}$ topolojisini ele alalım.

$$\left(\overset{\circ}{\overline{\mathbb{N}}}=\mathbb{R}\right)\left(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{R}\right) \Rightarrow \mathbb{N}\in\mathcal{B}$$

$$\left(\overset{\circ}{\overline{(0,1]}}=\mathbb{R}\right)\left((0,1]\subseteq\mathbb{R}\right) \Rightarrow (0,1]\in\mathcal{B}$$

fakat

$$\mathbb{N}\cap(0,1]=\{1\}$$

ve

$$\left(\overset{\circ}{\overline{\{1\}}}=\emptyset\right)\left(\{1\}\nsubseteq\emptyset\right) \Rightarrow \{1\}\notin\mathcal{B}$$

olduğundan

$$\cup\mathcal{A}=\{1\}$$

olacak şekilde

$$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$$

yoktur.

O halde  $\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A\subseteq\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}$  ailesi $X$ üzerinde bir topoloji için her zaman baz olamaz.

(549 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Gayet güzel. Açık ve net. Açtığın parantezin önüne \left, kapadığın parantezin önüne de \right yazarsan parantezler, parantezin içinde yazılı olan ifadeye göre otomatik olarak büyür.             

Bilgilendirme için teşekkürler hocam, düzenledim.

sonlu yerine \text{sonlu} yazarsan o da güzelleşir.

tekrar düzenledim:-)

20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,079,415 kullanıcı