Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
877 kez görüntülendi

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A\subseteq\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}\subseteq 2^X$$ ailesi, $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için her zaman baz mıdır? Cevabınızı kanıtlayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 877 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathbb{R}$ üzerinde  $\tau=\{A|A^t$ $\text{sonlu}\}\cup\{\emptyset\}$ topolojisini ele alalım.

$$\left(\overset{\circ}{\overline{\mathbb{N}}}=\mathbb{R}\right)\left(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{R}\right) \Rightarrow \mathbb{N}\in\mathcal{B}$$

$$\left(\overset{\circ}{\overline{(0,1]}}=\mathbb{R}\right)\left((0,1]\subseteq\mathbb{R}\right) \Rightarrow (0,1]\in\mathcal{B}$$

fakat

$$\mathbb{N}\cap(0,1]=\{1\}$$

ve

$$\left(\overset{\circ}{\overline{\{1\}}}=\emptyset\right)\left(\{1\}\nsubseteq\emptyset\right) \Rightarrow \{1\}\notin\mathcal{B}$$

olduğundan

$$\cup\mathcal{A}=\{1\}$$

olacak şekilde

$$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$$

yoktur.

O halde  $\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A\subseteq\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}$  ailesi $X$ üzerinde bir topoloji için her zaman baz olamaz.

(549 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Gayet güzel. Açık ve net. Açtığın parantezin önüne \left, kapadığın parantezin önüne de \right yazarsan parantezler, parantezin içinde yazılı olan ifadeye göre otomatik olarak büyür.             

Bilgilendirme için teşekkürler hocam, düzenledim.

sonlu yerine \text{sonlu} yazarsan o da güzelleşir.

tekrar düzenledim:-)

20,318 soru
21,876 cevap
73,598 yorum
2,904,974 kullanıcı