Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
574 kez görüntülendi

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A\subseteq\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}\subseteq 2^X$$ ailesi, $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için her zaman baz mıdır? Cevabınızı kanıtlayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 574 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathbb{R}$ üzerinde  $\tau=\{A|A^t$ $\text{sonlu}\}\cup\{\emptyset\}$ topolojisini ele alalım.

$$\left(\overset{\circ}{\overline{\mathbb{N}}}=\mathbb{R}\right)\left(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{R}\right) \Rightarrow \mathbb{N}\in\mathcal{B}$$

$$\left(\overset{\circ}{\overline{(0,1]}}=\mathbb{R}\right)\left((0,1]\subseteq\mathbb{R}\right) \Rightarrow (0,1]\in\mathcal{B}$$

fakat

$$\mathbb{N}\cap(0,1]=\{1\}$$

ve

$$\left(\overset{\circ}{\overline{\{1\}}}=\emptyset\right)\left(\{1\}\nsubseteq\emptyset\right) \Rightarrow \{1\}\notin\mathcal{B}$$

olduğundan

$$\cup\mathcal{A}=\{1\}$$

olacak şekilde

$$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$$

yoktur.

O halde  $\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A\subseteq\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}$  ailesi $X$ üzerinde bir topoloji için her zaman baz olamaz.

(549 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Gayet güzel. Açık ve net. Açtığın parantezin önüne \left, kapadığın parantezin önüne de \right yazarsan parantezler, parantezin içinde yazılı olan ifadeye göre otomatik olarak büyür.             

Bilgilendirme için teşekkürler hocam, düzenledim.

sonlu yerine \text{sonlu} yazarsan o da güzelleşir.

tekrar düzenledim:-)

20,204 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,890 kullanıcı