Topolojide Altbaz

Question

$X\not=\emptyset$  bir küme olmak üzere $\mathcal{P}(X)$ kuvvet kümesinin her $\mathcal{A}$ alt ailesi için

$X$ üzerinde $\mathcal{A}$ ailesinin altbaz olduğu bir ve yalnız bir $\tau$ topolojisi vardır. Gösteriniz.

 

$\text{NOTLAR:}$

                                    

• $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(X)$ olmak üzere
  

$\text{ $\mathcal{A}, \tau$ için altbaz:$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 1. \,\ \mathcal{A}\subset\tau  \\ 2. \,\  \mathcal{B:=}\{\cap\mathcal{A^*}|(\mathcal{A^*}\subset\mathcal{A})(|\mathcal{A^*}|<\aleph_0)\}  \text{ aileisi $\tau$ için baz. } \end{array}\right.$ }$

 

• $X\not=\emptyset$  ve $\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(X)$ olmak üzere 
$\mathcal{B}$ ailesinin $X$ üzerindeki bir $\tau$ topolojisine baz olabilmesi için gvyk

 $i)  \cup \mathcal{B}=X$

$ii)$ $A,B\in\mathcal{B}\Rightarrow(\exists\mathcal{A}\subset\mathcal{B})(A\cap B=\cup\mathcal{A})$  

Answer 1

$X\neq \emptyset$ herhangi bir küme ve $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(X)$ olmak üzere

$$\mathcal{B:=\left\{\bigcap\mathcal{A^*}\Big{|}(\mathcal{A^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A^*}|<\aleph_0)}\right\}}$$

ailesinin $X$ üzerindeki bir $\tau$ topolojisi için baz olduğunu gösterirsek ispat biter.

$\left.\begin{array}{rrr} \textbf{1)}(\{\}\subset\mathcal{A})(|\{\}|=0<\aleph_0)\Rightarrow \bigcap\{\}\in\mathcal{B} \\  \bigcap\{\}=X  \\  \end{array}\right\} \Rightarrow X\in\mathcal{B}\Rightarrow \bigcup\mathcal{B}=X.$

$\textbf{2})$ $A,B\in\mathcal{B} \,\ $ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists\mathcal{A_1}^*\subset\mathcal{A})(|\mathcal{A_1}^*|<\aleph_0)(A=\cap\mathcal{A_1}^*) \\ \mbox{} \\ B\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists\mathcal{A_2}^*\subset\mathcal{A})(|\mathcal{A_2}^*|<\aleph_0)(B=\cap\mathcal{A_2}^*) \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\mathcal{A_1}^*\cup\mathcal{A_2}^*\subset\mathcal{A})(|\mathcal{A_1}^*\cup\mathcal{A_2}^*|<\aleph_0)\left(A\cap B=\left(\bigcap\mathcal{A_1}^*\right)\cap\left(\bigcap\mathcal{A_2}^*\right)=\cap\left(\mathcal{A_1}^*\cup\mathcal{A_2}^*\right)\right)$

$\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{B}$

$\Rightarrow A\cap B=\cup\{A\cap B\}, \,\  \{A\cap B\}\subseteq \mathcal{B}.$

O halde $\mathcal{B}$ ailesi, $X$ üzerinde bir $\tau$ topolojisi için bazdır. 

 

$\therefore$ $\mathcal{A}$ ailesi, $X$ üzerindeki bir $\tau$ topolojisi için altbazdır.

Tekliği ise aşağıdaki teoremin sonucudur.

 

Teorem: $(X,\tau_1),(X,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(X)$ olmak üzere

$$(\mathcal{A},  \tau_1 \text{ için altbaz}) (\mathcal{A},  \tau_2 \text{ için altbaz}) \Rightarrow \tau_1 = \tau_2.$$

Comments

Burada da belirtildiği üzere kullandığın eşitlik yanlış olduğundan dolayı ispat zincirinde hata var.

---

@murad.ozkoc Haklısınız hocam sonuca ulaşmak için fazla acele etmişim. Aşamaları tekrar gözden geçireceğim.

---

Buradaki soruyu incelemeni tavsiye ederim. İspata doğru başlamışsın ama bir noktadan itibaren yanlış yapmışsın. O noktadaki yanlışı düzeltirsen ispat doğru olacak.

---

Hocam orada arakesitten bahsedilmiş ispat için küme ailelerinin birleşimleri lazım. Bu ispata yorumlayamadım.

---

$$A\cap B=\left(\bigcap\mathcal{A}_1\right)\cap \left(\bigcap\mathcal{A}_2\right)=\bigcap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)$$ ise $$A\cap B\in\mathcal{B}$$ olur. Buradan sonrası kolay artık.

---

Yardımlarınız için teşekkürler :)