Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

$\beta=\{ (a,b] | a,b \in \mathbf{R}, a<b \}$ kümeler ailesinin $\mathbf{R}$ üzerinde bir topoloji için taban olduğunu gösteriniz.


Sorunun çözümü için yardım istiyorum ama oncelikle su konuda..ben $\mathbf{R}$ de $\tau_{sag}$ topolojisini almakla başladım ise ama çiktigim yok ne kadar mantikli..

Lisans Matematik kategorisinde (1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.3k kez görüntülendi

$\beta,\ \mathbb{R}$ üzerinde o topolojinin bir tabanı değil. İstenen şey, topolojiyi bulmak değil. (ne olduğunu bulmadan) BİR topolojiye taban olduğunu göstermek. Bunu nasıl yapıldığı, derste, bir yerde anlatılmıştır.

Soruyu anlamama yardimci oldugunuz icin tesekkurler hocam ben hep bildigim bir topolojik uzayin tabani yapmaya calistim en mantiklisi sol topoloji gelmis idi..basta soruya yanlis baslamisim..gormedim o tarz bir cozum yada anlatim biraz daha arastirayim...:)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İpucu: Söz konusu ailenin $\mathbb{R}$ üzerindeki bir topolojiye baz olduğunu göstermek için $$b_1) \,\ \bigcup\mathcal{B}=\mathbb{R}$$ ve $$b_2) \,\ A,B\in\mathcal{B}\Rightarrow \left(\exists \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}\right)\left(A\cap B=\bigcup \mathcal{A}\right)$$ önermelerinin doğru olduğunu göstermen yeterli.

$b_1)$ $x\in\mathbb{R}\Rightarrow (\exists a,b\in\mathbb{R})(x\in(a,b])\Rightarrow x\in\bigcup_{a,b\in\mathbb{R}}(a,b]=\bigcup\mathcal{B} \,\ \Big{/} \,\ \mathbb{R}\subseteq \bigcup\mathcal{B}\ldots (1)$

$(a,b\in\mathbb{R})(a<b)\Rightarrow (a,b]\subseteq\mathbb{R}\Rightarrow \bigcup\mathcal{B}=  \bigcup_{a,b\in\mathbb{R}}(a,b]\subseteq\mathbb{R}\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow \bigcup \mathcal{B}=\mathbb{R}.$

$b_2)$ $A,B\in\mathcal{B}$ olsun. 

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,194 soru
21,723 cevap
73,246 yorum
1,849,864 kullanıcı