Küme Ailelerinin Birleşimi ve Kesişimi-1

Question

$X\neq\emptyset$ küme ve $\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2\subseteq \mathcal{P}(X)$ olmak üzere

$$(|\mathcal{A}_1|<\aleph_0)(|\mathcal{A}_2|<\aleph_0)$$

$$\Rightarrow$$

$$\bigcap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=\cup\left\{ \bigcap\mathcal{A}_1,\bigcap\mathcal{A}_2\right\}$$ önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Aileler sonlu olmadığında da önerme doğru mudur?  

Answer 1

$X=\{a,b,c\}$ olmak üzere $$\mathcal{A}_1=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\}\}$$ ve

$$\mathcal{A}_2=\{\{b\},\{b,c\}\}$$ olsun. Bu durumda $$\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{b\},\{b,c\}\}$$ olacağından $$\cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=\cap\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{b\},\{b,c\}\}=\emptyset$$ olur. Öte yandan $$\cap\mathcal{A}_1=\emptyset$$ ve  $$\cap\mathcal{A}_2=\{b\}$$ olduğundan $$\cup\{\cap\mathcal{A}_1,\cap\mathcal{A}_2\}=\{b\}$$ olur. $$\cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=\emptyset\neq\{b\}=\cup\{\cap\mathcal{A}_1,\cap\mathcal{A}_2\}$$ olduğundan önerme doğru değildir.