Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

$X\neq\emptyset$ küme ve $\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2\subseteq \mathcal{P}(X)$ olmak üzere

$$(|\mathcal{A}_1|<\aleph_0)(|\mathcal{A}_2|<\aleph_0)$$

$$\Rightarrow$$

$$ \bigcap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=\left(\bigcap\mathcal{A}_1\right)\cap \left(\bigcap\mathcal{A}_2\right)$$ önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Aileler sonlu olmadığında da önerme doğru mudur?  

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 1.3k kez görüntülendi

Bir yönünün ispatını şöyle yapabiliriz:

$\left.\begin{array}{ccc}\mathcal{A}_1\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_1 \\ \mathcal{A}_2\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_2 \end{array}\right\}\Rightarrow\cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq (\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)$

Diğer yönü için ne yapılabilir? Ailelerin sonlu olması şart mıdır?

Yukarıdaki parantez öncesi doğru mu? Şayet doğruysa benim anlayamadığım birşeyler var?

Daha fazla sayıdaki bir ailenin kesişimi daha az sayıdaki ailenin kesişiminden daha küçük olacaktır.

Evet, haklısın.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$\left.\begin{array}{ccc}\mathcal{A}_1\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_1 \\ \mathcal{A}_2\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_2 \end{array}\right\}\Rightarrow\cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq (\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)\ldots (1)$$

$$x\in (\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$(x\in (\cap \mathcal{A}_1))(x\in (\cap \mathcal{A}_1))$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall A_1\in\mathcal{A}_1)(x\in A_1)(\forall A_2\in\mathcal{A}_2)(x\in A_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall A\in\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)(x\in A)$$

$$\Rightarrow$$

$$x\in \cap (\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\ldots (2)$$

O halde

$$(1),(2)\Rightarrow \cap (\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=(\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)$$

elde edilir.

(11.4k puan) tarafından 

Ailelerin sonlu olması bile gerekmiyor sanki.

20,220 soru
21,752 cevap
73,357 yorum
1,997,194 kullanıcı