Küme Ailelerinin Birleşimi ve Kesişimi-2

Question

$X\neq\emptyset$ küme ve $\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2\subseteq \mathcal{P}(X)$ olmak üzere

$$(|\mathcal{A}_1|<\aleph_0)(|\mathcal{A}_2|<\aleph_0)$$

$$\Rightarrow$$

$$ \bigcap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=\left(\bigcap\mathcal{A}_1\right)\cap \left(\bigcap\mathcal{A}_2\right)$$ önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Aileler sonlu olmadığında da önerme doğru mudur?  

Comments

Bir yönünün ispatını şöyle yapabiliriz:

$\left.\begin{array}{ccc}\mathcal{A}_1\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_1 \\ \mathcal{A}_2\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_2 \end{array}\right\}\Rightarrow\cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq (\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)$

Diğer yönü için ne yapılabilir? Ailelerin sonlu olması şart mıdır?

---

Yukarıdaki parantez öncesi doğru mu? Şayet doğruysa benim anlayamadığım birşeyler var?

---

Daha fazla sayıdaki bir ailenin kesişimi daha az sayıdaki ailenin kesişiminden daha küçük olacaktır.

---

Evet, haklısın.

Answer 1

$$\left.\begin{array}{ccc}\mathcal{A}_1\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_1 \\ \mathcal{A}_2\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_2 \end{array}\right\}\Rightarrow\cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq (\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)\ldots (1)$$

$$x\in (\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$(x\in (\cap \mathcal{A}_1))(x\in (\cap \mathcal{A}_1))$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall A_1\in\mathcal{A}_1)(x\in A_1)(\forall A_2\in\mathcal{A}_2)(x\in A_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall A\in\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)(x\in A)$$

$$\Rightarrow$$

$$x\in \cap (\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\ldots (2)$$

O halde

$$(1),(2)\Rightarrow \cap (\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=(\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)$$

elde edilir.

Comments

Ailelerin sonlu olması bile gerekmiyor sanki.