Alınan yol toplamı, yerdeğişiminden büyük veya eşittir.İspatlayalım

Question

$n\ge1$ boyutlu evrende herhangi $A$ ve $B$ gibi $2$ nokta seçelim, $A-B$ arasında sonsuz sayıda yol çizebileceğimiz aşikar $^{s1}$ , dolayısıyla seçilen bu yollar arasında hangisi olursa olsun toplam yerdeğişmenin, alınan yoldan küçük veya eşit olduğunu gösterelim;

Bunu şöyle yapacağız, integral toplam demek ve hız, konum değişimi demektir;

Uzayımda $2$ nokta arasında hızın integrallerini aşşağıdaki gibi alır ve tanımlarsam ispatlayacağım şeyi bulurum;

$v$ : hız demektir, $\dfrac{d}{dx}(\overrightarrow x)$ anlamına gelir zamana göre konum değişimi demektir.

$\displaystyle\int_{A}^B|\overrightarrow v|dt$   Alınan yolu vermektedir.


$\left|\displaystyle\int_{A}^B\overrightarrow vdt\right|$ Yer değiştirmeyi vermektedir.


Bunları anlamak için şu örneğe bakalım;




$A$  ve   $B$  noktası çakışsınlar ve cisim $A$'dan $B$ ye yol alsın ve $A$'dan başlayıp $B$ de yani baştaki noktasına geri dönsün, görüldüğü üzre çember çevresi kadar yol alır ama toplam yerdeğişmesi $0$dır.


Soru 1($^{s1}$): Bu aşikarlığı nasıl ispatlayınız

Soru 2:

$\displaystyle\int_{A}^B\left|\overrightarrow v\right|dt \ge \left|\displaystyle\int_{A}^B\overrightarrow vdt\right|$  olduğunu ispatlayınız.

Soru 3:  Genelleştirerek aşşağıdaki eşitsizliği ispatlayınız;


$\displaystyle\int_{a}^b|f(t)|dt \ge \left|\displaystyle\int_{a}^b f(t)dt\right|$  olduğunu ispatlayınız.

Comments

Genel üçgen eşitsizliğine bağlanması çok hoş oldu.