$n\ge1$ boyutlu evrende herhangi $A$ ve $B$ gibi $2$ nokta seçelim, $A-B$ arasında sonsuz sayıda yol çizebileceğimiz aşikar $^{s1}$ , dolayısıyla seçilen bu yollar arasında hangisi olursa olsun toplam yerdeğişmenin, alınan yoldan küçük veya eşit olduğunu gösterelim;
Bunu şöyle yapacağız, integral toplam demek ve hız, konum değişimi demektir;
Uzayımda $2$ nokta arasında hızın integrallerini aşşağıdaki gibi alır ve tanımlarsam ispatlayacağım şeyi bulurum;
$v$ : hız demektir, $\dfrac{d}{dx}(\overrightarrow x)$ anlamına gelir zamana göre konum değişimi demektir.
$\displaystyle\int_{A}^B|\overrightarrow v|dt$ Alınan yolu vermektedir.
$\left|\displaystyle\int_{A}^B\overrightarrow vdt\right|$ Yer değiştirmeyi vermektedir.
Bunları anlamak için şu örneğe bakalım;
$A$ ve $B$ noktası çakışsınlar ve cisim $A$'dan $B$ ye yol alsın ve $A$'dan başlayıp $B$ de yani baştaki noktasına geri dönsün, görüldüğü üzre çember çevresi kadar yol alır ama toplam yerdeğişmesi $0$dır.
Soru 1($^{s1}$): Bu aşikarlığı nasıl ispatlayınız
Soru 2:
$\displaystyle\int_{A}^B\left|\overrightarrow v\right|dt \ge \left|\displaystyle\int_{A}^B\overrightarrow vdt\right|$ olduğunu ispatlayınız.
Soru 3: Genelleştirerek aşşağıdaki eşitsizliği ispatlayınız;
$\displaystyle\int_{a}^b|f(t)|dt \ge \left|\displaystyle\int_{a}^b f(t)dt\right|$ olduğunu ispatlayınız.