İlk olarak x∈R için;
Tanım gereği;
|x|=max{x,−x}
ve
|x|≥0, |x|=|−x|
ve
u≥|x|⇒u≥x≥−u
Olduğunu bilelim ve hatta burada ispatlanacak durumlardan ilk bir kaçını da bilelim , ilk olarak basit üçgen eşitsizliğini ve negatifler için olanı ispatlayalım sonra da genelleştirelim;(http://matkafasi.com/99514)
|x|=max{x,−x} olduğundan
|x|=max{x,−x}≥x
|x|=max{x,−x}≥−x→x≥−|x|
Birleştirirsek;
|x|≥x≥−|x| olur ve bir y için daha bunu yapalım;
|y|≥y≥−|y| , ve sıralı toplayalım;
|x|+|y|≥x+y≥−(|x|+|y|) bu da yukardaki bildiğimiz şeylerin 3.sünden dolayı;
||x|+|y||≥|x+y| , ||x|+|y|| bu herzaman zaten pozitivdir dolayısıyla;
⋆||x|+|y||≥|x+y|≡|x|+|y|≥|x+y| ◻
Bundan dolayı;
|x|=|x−y+y|≤|x−y|+|y|
|x|−|y|≤|x−y| ♣
ve dolayısıyla;
|y|−|x|≤|y−x|=|x−y| başka bir ifadeyle;
|x|−|y|≥−|x−y| olur. ♠;
♣ ve ♠ sonuçları birleşirse;
⋆⋆|x−y|≥|x|−|y|≥−|x−y|⇒|x−y|≥||x|−|y||
Hadi |x|+|y|≥|x+y| durumunu genelleştirelim;
Şöyle birşey tanımlayalım; ai=∑si=s0+s1+s2+.....+si
ai=ai−1+si olduğu aşikâr;
|ai|≤|ai−1|+|si|≤|ai−2|+|si−1|+|si|≤.......≤i∑k=0|sk|
Yani;
|i∑k=0sk|≤i∑k=0|sk| Q.E.D. ◻