Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
587 kez görüntülendi

$a_{1},a_{2},a_{3}......a_{n-1},a_{n} :\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow$

Ünlü üçgen eşitsizliği 

$|a_{1}|+|a_{2}|\geq |a_{1}+a_{2}|$

Soru 1:Üstte bulunan üçgen eşitsizliğini ispatlayınız.

Soru 2:Üstte bulunan üçgen eşitsizliğini  $n$  tane reel sayı için ($a_{1},a_{2}.....a_{n}$) "tümevarım" yöntemi ile genişletiniz.Şöyleki;

$|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+.......+|a_{n-1}|+|a_{n}|\geq |a_{1}+a_{2}+a_{3}+......+a_{n-1}+a_{n}|$

bu eşitsizliği ispatlayınız.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 587 kez görüntülendi

Aslında ispatlık pek bir şey yok. Sonuç olarak iki doğru parçasının birleştirildiğinde aldığı en büyük değer $a+b$'dir zaten(İspat illaki gerekiyorsa cosinüs bağıntısından $\theta=\pi$ diyebilirsin.). Bunu diğer çokgenlere de yayabiliriz. Çok matematiksel bir ispat çıkarılabilir mi illaki çıkar ama anlaşılıyor bu şekilde de.

tabi anlaşılıyor sayı negatif veya pozitif olsa toplanıp mutlağı alındıgında tek tek mutlagından kücüktür ama bunu matematıksel olarak ıspatlamak soru zaten. 

sanırım açıyı pi ye götürmekten başka çare yok tam cebirsel bir ispat bulamadım.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

İlk olarak $x\in\mathbb R$ için;


Tanım gereği;


$|x|=\max\{x,-x\}$

ve

$|x|\ge 0$,    $|x|=|-x|$

ve

$u\ge |x|\quad \Rightarrow\quad u\ge x\ge -u$

Olduğunu bilelim  ve hatta burada ispatlanacak durumlardan ilk bir kaçını da bilelim , ilk olarak basit üçgen eşitsizliğini ve negatifler için olanı ispatlayalım sonra da genelleştirelim;(http://matkafasi.com/99514)


$|x|=\max\{x,-x\}$  olduğundan

$|x|=\max\{x,-x\}\ge x$

$|x|=\max\{x,-x\}\ge -x\quad \to\quad x\ge -|x|$

Birleştirirsek;

$|x|\ge x\ge -|x|$   olur ve bir $y$ için daha bunu yapalım;


$|y|\ge y\ge -|y|$   , ve sıralı toplayalım;


$|x|+|y|\ge x+y \ge -(|x|+|y|)$  bu da yukardaki bildiğimiz şeylerin 3.sünden dolayı;

$||x|+|y||\ge |x+y|$ ,  $||x|+|y||$  bu herzaman zaten pozitivdir dolayısıyla;

$\star ||x|+|y||\ge |x+y|\quad\equiv\quad |x|+|y|\ge |x+y|$       $\Box$


Bundan dolayı;

$|x|=|x-y+y|\le |x-y|+|y|$

$|x|-|y|\le |x-y|$   $\clubsuit$

ve dolayısıyla;

$|y|-|x|\le|y-x|=|x-y|$    başka bir ifadeyle;


$|x|-|y|\ge -|x-y|$   olur.       $\spadesuit$;



$\clubsuit$   ve   $\spadesuit$  sonuçları birleşirse;

$\star\star \boxed{\boxed{|x-y|\ge |x|-|y|\ge -|x-y|\quad\Rightarrow\quad |x-y|\ge||x|-|y||}}$

Hadi $ |x|+|y|\ge |x+y|$   durumunu genelleştirelim;

Şöyle birşey tanımlayalım; $a_i=\sum s_i=s_0+s_1+s_2+.....+s_i$

$a_i=a_{i-1}+s_i$ olduğu aşikâr;

$ |   a_i   |\le |a_{i-1}|+|s_{i}| \le |a_{i-2}|+|s_{i-1}|+|s_i|\le .......\le \displaystyle\sum_{k=0}^i |s_k|$

Yani;

$\boxed{\left|\displaystyle\sum_{k=0}^i s_k\right|\le \displaystyle\sum_{k=0}^i |s_k|}$     Q.E.D.   $\Box$

(7.8k puan) tarafından 
Alınan yol toplamı, yerdeğişiminden büyük veya eşittir.İspatlayalım
19,695 soru
21,399 cevap
71,870 yorum
219,759 kullanıcı