Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
339 kez görüntülendi
Lastikteki karınca sorusunda yay uzuyordu ve karınca uca gelmeye çalışıyordu. Soruyu terse çevirelim diye düşündüm.
Lisans Teorik Fizik kategorisinde (156 puan) tarafından  | 339 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Metalin ucu için hız fonkisyonunu

$ \vec{v}_{uç} (t) $

ve konum fonksiyonunu  

$ \vec{x}_{uç} (t) $

ile gösterelim.

Karınca için içinse konum $\vec{x}$ ve hız $\vec{v}$ ile gösterilsinler.

Amacımız, $\vec{x} (t) = \vec{x}_{uç} (t) $ olduğu $t$ değerini bulmak.

Şimdi, fonksiyonları inşa edelim.

$$ \vec{v}_{uç} (t) = - 1 $$

olarak yazdım. (Metalin ucunu $x=0$ a sabitledim ve kısalmayı $-$ yön olarak seşçtim)

$$ \vec{x}_{uç} = \int -1 dt' $$

$$ \vec{x}_{uç} = 10 - t $$

olur.

Karıncanın hızı $\vec{v}$ yi

$$ \vec{v} = \dfrac{dx}{dt} $$

şeklinde ifade ettiğimizde,

$$ \dfrac{dx}{dt} =  1  - \dfrac{x}{10 - t} $$

olur. Bu denklemi,

$$ \dfrac{dx}{dt} =  \dfrac{10 - t - x}{10 - t} $$

$$ dx[10 - t] +  dt[ x + t - 10] = 0 $$

Bu bir tam diferansiyel değil,

ifadeyi tam diferansiyel yapmak için sadece $t$ ye bağlı bir $\mu (t)$ ile ifadeyi çarpalım,

$$ dx[10\mu - t \mu] +  dt[ x\mu  + t\mu - 10\mu] = 0 $$

şimdi tam diferansiyellik koşulun

$$ \dfrac{10\mu - t \mu}{dt} = \dfrac{x\mu  + t\mu - 10\mu}{dx}  $$

$$  \dfrac{d \mu}{dt} (10 -t) = 2 \mu $$

$$  \mu (t) = \dfrac{1}{(10 - t)^2} $$

olur.

Diferansiyel de

$$ dx[\dfrac{1}{10-t}] +  dt[ \dfrac{x  + t - 10}{(10-t)^2}] = 0 $$

halini alır. Şimdi $dx$ li kısma integral alırsak

$$ F(x,t)  = \int [\dfrac{1}{10-t}] dx $$

$$ F(x,t)  = \dfrac{x}{10-t} + g(t) $$

olur. Bulduğumuz kapalı fonksiyona $t$ ye göre türev alırsak $dt$ li kısmı elde ederiz.

$$ \dfrac{\partial F(x,t)}{ \partial t} =  \dfrac{x}{(10-t)^2} + \dfrac{d  g(t)}{dt}  = \dfrac{x  + t - 10}{(10-t)^2} $$

$$ \dfrac{\partial F(x,t)}{ \partial t} =  \dfrac{x}{(10-t)^2} + \dfrac{d  g(t)}{dt}  = \dfrac{x }{(10-t)^2} + \dfrac{t-10}{(10-t)^2} $$

$$ \dfrac{d  g(t)}{dt}  = - \dfrac{1}{(10-t)}$$

ifadeyi integrallersek,

 

$$ g(t) = \int - \dfrac{1}{(10-t)} dt $$

 

$$ g(t) = \ln (10 - t) + k $$

 

ve

 

$$  F(x,t) = \dfrac {x}{(10-t)} + \ln(10-t) + k  = 0 $$

 

$x(0) = 0$ koşulunu $k$ yi bulmak için kullanalım.

 

$$  F(0,0) =  \ln(10) + k  = 0 $$

 

$$  k  = - \ln(10)  $$

 

$$  F(x,t) = \dfrac {x}{(10-t)} + \ln(10-t) - \ln(10)   = 0 $$

 

buradan da

 

$$   \dfrac {x}{(10-t)} + \ln(10-t) - \ln(10)   = 0 $$

 

$$   \dfrac {x}(t) = (10-t) [  \ln(10) - \ln(10-t) ]   = 0 $$

 elde edilir.

 

Artık  

 

$$ \vec{x}_{uç} = 10 - t $$

 

ile

 

$$    x(t) = (10-t) [  \ln(10) - \ln(10-t) ]   = 0 $$

 

yi eşitleyebiliriz.

 

$$   x(t) = \vec{x}_{uç} (t) $$

 

$$ (10-t) [  \ln(10) - \ln(10-t) ]   = 10 - t $$

 

$$ [  \ln(10) - \ln(10-t) ]   = 1 $$

 

$$ \ln (\dfrac{10}{10 - t}) = 1 $$

 

$$  \dfrac{10}{10 - t} = e $$

den

$$ t = 10 (1 - \dfrac{1}{e}) $$

olur.

 

Bu $t$ değerini

 

$$ \vec{x}_{uç} (t) = 10 - t $$

 

de yerini yazıp karıncanın ucuna geldiği noktayı da hesaplayalım.

 

$$ \vec{x}_{uç} (10 (1 - \dfrac{1}{e})) = 10 - (10 (1 - \dfrac{1}{e})) $$

 

$$ \vec{x}_{uç} (10 (1 - \dfrac{1}{e})) = \dfrac{10}{e})) $$

 

olur.
(156 puan) tarafından 
20,210 soru
21,736 cevap
73,302 yorum
1,909,962 kullanıcı