Metalin ucu için hız fonkisyonunu
→vuç(t)
ve konum fonksiyonunu
→xuç(t)
ile gösterelim.
Karınca için içinse konum →x ve hız →v ile gösterilsinler.
Amacımız, →x(t)=→xuç(t) olduğu t değerini bulmak.
Şimdi, fonksiyonları inşa edelim.
→vuç(t)=−1
olarak yazdım. (Metalin ucunu x=0 a sabitledim ve kısalmayı − yön olarak seşçtim)
→xuç=∫−1dt′
→xuç=10−t
olur.
Karıncanın hızı →v yi
→v=dxdt
şeklinde ifade ettiğimizde,
dxdt=1−x10−t
olur. Bu denklemi,
dxdt=10−t−x10−t
dx[10−t]+dt[x+t−10]=0
Bu bir tam diferansiyel değil,
ifadeyi tam diferansiyel yapmak için sadece t ye bağlı bir μ(t) ile ifadeyi çarpalım,
dx[10μ−tμ]+dt[xμ+tμ−10μ]=0
şimdi tam diferansiyellik koşulun
10μ−tμdt=xμ+tμ−10μdx
dμdt(10−t)=2μ
μ(t)=1(10−t)2
olur.
Diferansiyel de
dx[110−t]+dt[x+t−10(10−t)2]=0
halini alır. Şimdi dx li kısma integral alırsak
F(x,t)=∫[110−t]dx
F(x,t)=x10−t+g(t)
olur. Bulduğumuz kapalı fonksiyona t ye göre türev alırsak dt li kısmı elde ederiz.
∂F(x,t)∂t=x(10−t)2+dg(t)dt=x+t−10(10−t)2
∂F(x,t)∂t=x(10−t)2+dg(t)dt=x(10−t)2+t−10(10−t)2
dg(t)dt=−1(10−t)
ifadeyi integrallersek,
g(t)=∫−1(10−t)dt
g(t)=ln(10−t)+k
ve
F(x,t)=x(10−t)+ln(10−t)+k=0
x(0)=0 koşulunu k yi bulmak için kullanalım.
F(0,0)=ln(10)+k=0
k=−ln(10)
F(x,t)=x(10−t)+ln(10−t)−ln(10)=0
buradan da
x(10−t)+ln(10−t)−ln(10)=0
x(t)=(10−t)[ln(10)−ln(10−t)]=0
elde edilir.
Artık
→xuç=10−t
ile
x(t)=(10−t)[ln(10)−ln(10−t)]=0
yi eşitleyebiliriz.
x(t)=→xuç(t)
(10−t)[ln(10)−ln(10−t)]=10−t
[ln(10)−ln(10−t)]=1
ln(1010−t)=1
1010−t=e
den
t=10(1−1e)
olur.
Bu t değerini
→xuç(t)=10−t
de yerini yazıp karıncanın ucuna geldiği noktayı da hesaplayalım.
→xuç(10(1−1e))=10−(10(1−1e))
→xuç(10(1−1e))=10e))
olur.