Sonuç 20.9. Sadece kesirli sayılarda sürekli olan bir$ f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu yoktur. Kanıt: $f $: bir fonksiyon olsun. $U(n)$, {$U : U$ açık ve $f(U)$ nun çapı $\frac1n $ den küçük} kümesinin elemanlarının bileşimi olsun. $U(n)$, açık kümelerin bileşimi olduğunudan, elbette açık bir kümedir. $C = \bigcap U(n )$ olsun. $C$ tam tamına $f$ nin sürekli olduğu elemanlar kümesidir. Bunun kanıtı basittir ve okura bırakılmıştır. Sonuç 20.8ye göre $C = \mathbb{Q}$ olamaz.
Sonuç 20.8. $\mathbb{Q},\ \mathbb{R} $ nin sayılabilir sayıda açık altkümesinin kesişimi değildir.