$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, her $x\in \mathbb{R}$ için $f(x)=0$ olarak tanımlanan $f$ fonksiyonu tek mi? çift mi?

Question

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, her $x\in\mathbb{R}$ için $f(x)=0$ olarak tanımlı $f$ fonksiyonu tek mi? çift mi? Yoksa hem tek,hemde çift mi? 

Bilindiği gibi $f(-x)=f(x)$ ise $f$ çift ve $f(-x)=-f(x)$ ise $f$ tektir. Ama bu fonksiyon sabit bir fonksiyon olup;

1)$f(-x)=0=f(x)$ olduğundan $f$ çifttir.

2)$f(-x)=0=-1.0=-f(x)$ olduğundan $f$ tektir. Demek ki $f$ hem tek hem de çifttir?

3)$f(-x)=0=a.0=a.f(x)$ olduğundan $f$ ne tek ne de çifttir?   $a\notin\{-1,0,1\}$ olan bir reel sayıdır. Bu yargılardan hangisi doğrudur?

Answer 1

Bugün derste tek ve çift fonksiyonlardan bahsettim. Sitede bu konu ile ilgili neler var diye bakınca bu soruya rastladım. Bir yanıt yazmadan önce tanımları formel olarak verelim. Öncelikle şöyle bir tanım yapalım:

Tanım: $A\subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere

$$A, \text{ simetrik küme}:\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow -x\in A)$$

Örnek: $\mathbb{Z},$ $\mathbb{Q},$ $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q},$ $\mathbb{R},$ $(-1,1),$ $(-\infty,-1]\cup [1,\infty),$ $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi \Big{|}k\in\mathbb{Z}\right\},$ $\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi \big{|}k\in\mathbb{Z}\right\}$ vs. kümeleri birer simetrik küme olmasına karşın $(-1,1],$ $\mathbb{N},$ $(0,\infty)$ vs. kümeleri birer simetrik küme değildir.

Tanım: $A\subseteq \mathbb{R}$ simetrik bir küme (yukarıda ifade ettiğimiz anlamda) olmak üzere

$$f, \text{ tek (fonksiyon)}:\Leftrightarrow (\forall x\in A)(f(-x)=-f(x))$$

$$f, \text{ çift (fonksiyon)}:\Leftrightarrow (\forall x\in A)(f(-x)=f(x))$$

Bu tanımlar altında $(1)$ ve $(2)$ nolu yargıları ele alalım.

$$``\ (\forall x\in \mathbb{R})(f(-x)=0=-f(x))"$$ önermesi doğru olduğundan $f$ fonksiyonu tektir. Öte yandan

$$``\ (\forall x\in \mathbb{R})(f(-x)=0=f(x))"$$ önermesi doğru olduğundan $f$ fonksiyonu çifttir.

Tanımlara tekrar bakacak olursak bir fonksiyonun tek olmaması 

$$``\  (\exists x\in A)(f(-x)\neq -f(x))"$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyor. Yani

$$f, \text{ tek (fonksiyon) değil}:\Leftrightarrow (\exists x\in A)(f(-x)\neq -f(x)).$$

Benzer şekilde bir fonksiyonun çift olmaması da

$$``\ (\exists x\in A)(f(-x)\neq f(x))"$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyor. Yani

$$f, \text{ çift (fonksiyon) değil}:\Leftrightarrow (\exists x\in A)(f(-x)\neq f(x)).$$

Son olarak şunu da ilave edeyim. Mesela $$f(x)=\ln x$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu tek midir ya da çift midir? sorusu anlamlı değildir. Çünkü teklik ve çiftlik tanım kümesi simetrik olan gerçel tanım kümeli fonksiyonlar için söz konusu edilir. Bu $f$ fonksiyonunun tanım kümesi gerçel sayıların simetrik bir altkümesi olmadığı için teklik veya çiftlik bu fonksiyon için söz konusu değildir.

Comments

Ellerinize sağlık Murad Hocam. Katkılarınızla soru daha da anlamlı oldu. Doğrusu ben teklik ve çiftlik tanımında,fonksiyonun tanım kümesinin simetrik olması gerektiğini bilmiyordum. Eee öğrenmenin yaşı yoktur. Zaten Orta öğretimden biraz kaynak tararsanız tanımın sizinki gibi (formel) olmadığını görürsünüz. Çok çok teşekkürler.

---

Ne demek sayın hocam.

Answer 2

Bir fonksiyon ne zaman tek degildir? Eger bir adet $x$ degeri icin $f(-x)\ne -f(x)$ ise... Son secenek bunu soylemiyor. Keza cift icin de...

Comments

Yani aksine bir örnek verilebildiği için, ne tek ne de çifttir diyebiliriz. Öyle mi?Sercan hocam. Fakat grafiği düşünüldüğünde ilki daha güçlü olmuyor mu?

---

3.sü aksine örnek vermiyor, sadece başka birkaç eşitliği daha sağladığını söylüyor. Bu bize tek/çift olmadığı hakkında bilgi vermez.

---

Ama sağladığını söylediğiniz başka eşitlikler onun tekliği/çiftliği ile ters düşmüyor mu?

---

Neden düşsün? Benim gözüm var, kulağım da var deyince gözüm yok olmuyor. $64$ mesela $8^2$ ama aynı zaman da $4^3$. Bu son şekilde yazılması neden $64$ tam kare değildir çıkarımını versin?