Metrik uzaylarda komşuluk

Question

 $(X,d_{1}),(X,d_{2})$ metrik uzaylar, $d:X^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ , $d(x,y):=d_{1}(x,y)+d_{2}(x,y)$ olmak üzere $$"(a \in X)(\varepsilon > 0) \Rightarrow B^{d}(a,\varepsilon)=B^{d_{1}}(a,\varepsilon) \cap B^{d_{2}}(a,\varepsilon)"$$ önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız. 

Not: Bu eşitliğin sağlandığını söyleyebilmek için çift yönlü kapsamanın olduğunu göstermeliyiz. İspatın bir yönü şu şekilde, varsa diğer kısmın ispatı nasıldır?

$(\subset):$ $x \in B^{d}(a,\varepsilon) \Rightarrow d(a,x)<\varepsilon$

                                     $\Rightarrow d_{1}(a,x)+d_{2}(a,x)<\varepsilon$

                                     $\Rightarrow (d_{1}(a,x)<\varepsilon)(d_{2}(a,x)<\varepsilon)$

                                     $ \Rightarrow (x \in B^{d_{1}}(a,\varepsilon))(x \in B^{d_{2}}(a,\varepsilon))$

                                     $\Rightarrow  x \in B^{d_{1}}(a,\varepsilon) \cap B^{d_{2}}(a,\varepsilon)$    

Answer 1

$X=\mathbb{R}, \,\ d_1(x,y)=d_2(x,y)=|x-y|, \,\ a=0 \text{ ve } \epsilon =2$ olmak üzere 

$$B^{d_1}(0,2)\cap B^{d_2}(0,2)=(-2,2)\cap (-2,2)=(-2,2)\neq (-1,1)=B^d(0,2)$$ olduğundan (doğru olup olmadığını sorduğunuz) önerme yanlıştır. 

Comments

Teşekkür ederim hocam.