Bir topoloji ile herhangi bir bazının arasında kalan bir küme ailesi de o topoloji için bir bazdır.

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{B}\subset P(X)$ olmak üzere

$$(\mathcal{B}, \,\ \tau \text{ için baz})(\mathcal{B}\subset\mathcal{B'}\subset\tau)\Rightarrow\mathcal{B'}, \,\ \tau \text{ için baz}$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Neler denediginizden bahsetmelisiniz.

---

ispatımı yazıyorum şu an latexi yeni öğrendiğim için biraz zaman alacak.

---

$(X,\tau)$ topolojik uzayındaki her açık kümenin $\mathcal{B}'$ ailesinin bazı elemanlarının birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermek yeterli olacaktır.

---

@murad.ozkoc evet hocam ben de söylediğinizin matematikçesini yazmaya çalıştım.

Answer 1

$$\mathcal{B}\subset\tau\text{ olmak üzere;}$$

$$\boxed{\mathcal{B},\tau\text { için baz :} \Leftrightarrow(\forall A\in\tau)(\exists\mathcal{A}\subset\mathcal{B})(A=\bigcup\mathcal{A})}  $$

$$(\mathcal{B}\subset\mathcal{B'}\subset\tau)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists\mathcal{K}\subset\tau)(\mathcal{B'}=\mathcal{B}\cup\mathcal{K})$$$$ve$$ $$(\mathcal{B},\tau \text{ için baz})$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall{A}\in\tau)(\exists\mathcal{A}\subset\mathcal{B}\subset(\mathcal{B} \cup \mathcal{K}))(A=\bigcup\mathcal{A})$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall A\in\tau)(\exists \mathcal{A}\subset\mathcal{B'})(A=\bigcup\mathcal{A})$$

$$\Rightarrow$$

$$\mathcal{B'},\tau\text { için bir bazdır.}$$

Comments

$\text{İspattan da anlaşabileceği üzere $\mathcal{B'}=\mathcal{B}\cup\mathcal{K}$  o.ş.  $\exists\mathcal{K}\subset\tau$ ailesi bulunamıyor ise}$

$\text{$\mathcal{B'}\subset\tau$ (başlangıç koşulu) sağlanmayacağından $\mathcal{B'}$ ailesi $\tau$ için baz olamaz.} $

Answer 2

$\mathcal{B}'\subseteq\tau$ olduğundan $(X,\tau)$ topolojik uzayının her açık kümesini $\mathcal{B}'$ ailesinin bazı elemanlarının birleşimi şeklinde yazılabileceğini gösterirsek ispat biter. 

$A\in\tau$ olsun. $$\left. \begin{array}{r} A\in\tau  \\ \mathcal{B}, \tau \text{ için baz} \end{array} \right\}\Rightarrow \!\!\! \begin{array}{c} \mbox{}\\ \left. \begin{array}{r} (\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A=\cup\mathcal{A}) \\ \mathcal{B}\subseteq\mathcal{B}' \end{array} \right\} \Rightarrow (\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}')(A=\cup\mathcal{A}). \end{array}$$