Topoloji ve Baz

Question

$(X,\tau_1),(X,\tau_2)$ topolojik uzaylar, $\mathcal{B}_1\subseteq 2^X$ ve $\mathcal{B}_2\subseteq 2^X$ olmak üzere

$$``(\mathcal{B}_1, \ \tau_1 \text{ için baz})(\mathcal{B}_2, \ \tau_2 \text{ için baz})\Rightarrow \mathcal{B}_1\cap \mathcal{B}_2, \ \tau_1\cap\tau_2 \text{ için baz}"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$X=\mathbb{R}, \ \tau_1:=\tau_{alt}$  (alt limit topolojisi)  $\tau_2:=\tau_{üst}$ (üst limit topolojisi)  ve  $\tau_3:=\mathcal{U}$  (alışılmış (standart) topoloji) olmak üzere $$\mathcal{B}_1:=\left\{[a,b)\Big{|}(a,b\in\mathbb{R})(a<b)\right\}$$ ve $$\mathcal{B}_2:=\left\{(a,b]\Big{|}(a,b\in\mathbb{R})(a<b)\right\}$$ aileleri sırasıyla $\tau_1$ ve $\tau_2$ topolojilerinin birer bazıdır. Ancak $$\mathcal{B}_1\cap\mathcal{B}_2=\emptyset$$ ailesi, $$\tau_1\cap \tau_2=\tau_3$$ topolojisi için bir baz değildir (Neden?). Dolayısıyla söz konusu önerme her zaman doğru değildir.