(⇒): B, τ için baz ve x∈X olsun. Amacımız lokal baz tanımı gereği Bx⊆N(x)…(1)
ve
(∀N∈N(x))(∃B∈Bx)(B⊆N)…(2)
önermelerinin doğru olduğunu göstermek.
B, τ için baz ve
x∈X olsun.
B, τ için baz⇒B⊆τBx:={B|x∈B∈B}}⇒Bx⊆U(x)⊆N(x).
Dolayısıyla
(1) nolu önerme doğru. Şimdi
(2) nolu önermenin doğru olduğunu gösterelim.
N∈N(x) olsun.
N∈N(x)⇒(∃T∈τ)(x∈T⊆N)B, τ için baz}⇒
⇒(∃A⊆B)(x∈T=∪A⊆N)Ax:={B|x∈B∈A}}⇒(∃B∈Ax⊆Bx)(B⊆N).
⇒(B∈Bx)(B⊆N).
(⇐): x∈X ve Bx, x'de yerel baz olsun. Amacımız B ailesinin τ topolojisi için baz olduğunu göstermek. Bunun için de B⊆τ…(1)
ve
(∀A∈τ)(∃A⊆B)(A=∪A)…(2)
önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
B⊆τ olduğu açık.
(2) nolu önermenin doğru olduğunu gösterelim.
A∈τ olsun.
A∈τ⇒(∀x∈A)(A∈N(x))Bx, x'de yerel baz}⇒
⇒(∃Bx∈Bx)(x∈Bx⊆A)A:={Bx|(∀x∈A)(∃Bx∈Bx)(x∈Bx⊆A)}}⇒
⇒(A⊆B)(A=∪A).
NOT: U(x):={U|x∈U∈τ} ve N(x):={N|(∃T∈τ)(x∈T⊆N)}