Baz ve Topoloji

Question

$(X,\tau_1),(X,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{P}(X)$ olmak üzere

$$(\text{$\mathcal{B}$, $\tau_1$ için baz})(\text{$\mathcal{B}$, $\tau_2$ için baz})\Rightarrow\tau_1=\tau_2$$

olduğunu gösteriniz.

bir soru ile ilgili: Altbaz ve Topoloji 

Answer 1

$$\mathcal{B}, \text{ $\tau_1$ ve $\tau_2$ için baz}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\mathcal{B}\subseteq\tau_1)(\mathcal{B}\subseteq\tau_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$\mathcal{B}\subseteq(\tau_1\cap\tau_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$\left.\begin{array}{rr} A\in\tau_1\cap\tau_2\Rightarrow(A\in\tau_1)(A\in\tau_2) \\ \mbox{} \\ \mathcal{B}, \text{ $\tau_1$ ve $\tau_2$ için baz} \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A=\cup\mathcal{A})$$

$$\Rightarrow$$

$$\mathcal{B}, \text{ $\tau_1\cap\tau_2$ için baz}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\mathcal{B}\subseteq\tau_1\cap\tau_2\subseteq\tau_1)(\mathcal{B}\subseteq\tau_1\cap\tau_2\subseteq\tau_2)$$

$$\Rightarrow$$

Bir topoloji ile herhangi bazının arasında kalan bir küme ailesi o topoloji için bazdır.

$$\Rightarrow$$

$$(\tau_1\cap\tau_2 , \text{ $\tau_1$ için baz})(\tau_1\cap\tau_2 , \text{ $\tau_2$ için baz})$$

$$\Rightarrow$$

$$(\tau_2 , \text{ $\tau_1$ için baz})(\tau_1 , \text{ $\tau_2$ için baz})$$

$$\Rightarrow$$

$$(\tau_2\subseteq\tau_1)(\tau_1\subseteq\tau_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$\tau_1=\tau_2$$

Answer 2

$\left. \begin{array}{r} A\in\tau_1  \\ \\  \mathcal{B}, \tau_1 \text{ için baz} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \mbox{}\\ \mbox{} \\ \left. \begin{array}{c} (\exists \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(A=\cup\mathcal{A}) \\ \\ \mathcal{B}, \tau_2 \text{ için baz}\Rightarrow\mathcal{B}\subseteq\tau_2 \end{array} \right\} \Rightarrow A\in\tau_2\end{array}$

Dolayısıyla $$\tau_1\subseteq\tau_2$$
olur. Benzer şekilde $$\tau_2\subseteq\tau_1$$
bulunur. O halde $$\tau_1=\tau_2.$$

Comments

Her ispatımı inatla en uzun yoldan yapıyorum:)