{n\choose k}= \frac{n!} {k!(n-k)!}
k \in {1,2,3, . . . . .,n-1} ;
{n\choose 1},{n\choose 2}, {n\choose 3},......,{n\choose n-1} kombinasyonların hepsini çift sayı yapan bütün pozitif n'leri bulunuz.
Bu sorudaki sonuc ve notasyonlara gore cevap verecegim.\nu_2\left(\binom{n}{k}\right)=[n-\sigma_2(n)]-[k-\sigma_2(k)]-[(n-k)-\sigma_2(n-k)] olur. Bu sayinin her k \in \{1,2,\cdots,n-1\} icin buyuk sifir olmasini istiyoruz, yani \sigma_2(n) <\sigma_2(k)+\sigma_2(n-k) olmali.n=2^a+m olarak yazalim, burada a en buyuk kuvvet. k=m\ge 1 durumu icin \sigma_2(n)=\sigma_2(2^a)+\sigma_2(m) olacagindan elde edecegimiz sayi tek olur. Geriye m=0 secenegi kaldi. k ve n-k sifir olmayacagindan agirliklari en az 1 olur. Dolayisiyla aradaki her k degeri icin 1=\sigma_2(2^a)<1+1\le \sigma_2(k)+\sigma_2(n-k) olur.Sonuc: n sadece 2'nin bir tam kuvveti oldugunda saglanir.
Şunu söylermiyiz peki ;
p bir asal sayı;
p tüm kombinasyonları böler \iff n , p'nin bir kuvveti
Evet, cevapta bunu gosterdik.
Burada aslinda cok cok fazlasini gosterdik. Aradakiler de basli basina guzel ozellikler.