Tüm kombinasyonları çift yapan tüm $n$'leri bulalım.

Question

${n\choose k}= \frac{n!} {k!(n-k)!}$

$k \in$ {$1,2,3, . . . . .,n-1$}  ; 

${n\choose 1},{n\choose 2}, {n\choose 3},......,{n\choose n-1}$ kombinasyonların hepsini   çift sayı yapan bütün pozitif $n$'leri bulunuz.

Answer 1

Bu sorudaki sonuc ve notasyonlara gore cevap verecegim. $$\nu_2\left(\binom{n}{k}\right)=[n-\sigma_2(n)]-[k-\sigma_2(k)]-[(n-k)-\sigma_2(n-k)]$$ olur. Bu sayinin her $k \in \{1,2,\cdots,n-1\}$ icin buyuk sifir olmasini istiyoruz, yani $$\sigma_2(n) <\sigma_2(k)+\sigma_2(n-k)$$ olmali.

$n=2^a+m$ olarak yazalim, burada $a$ en buyuk kuvvet. $k=m\ge 1$ durumu icin $$\sigma_2(n)=\sigma_2(2^a)+\sigma_2(m)$$ olacagindan elde edecegimiz sayi tek olur. 

Geriye $m=0$ secenegi kaldi. $k$ ve $n-k$ sifir olmayacagindan agirliklari en az $1$ olur. Dolayisiyla aradaki her $k$ degeri icin $$1=\sigma_2(2^a)<1+1\le \sigma_2(k)+\sigma_2(n-k)$$ olur.

Sonuc: $n$ sadece $2$'nin bir tam kuvveti oldugunda saglanir.

Comments

Şunu söylermiyiz peki ;

p bir asal sayı;

$p$ tüm kombinasyonları böler $\iff$ $n$ , $p$'nin bir kuvveti 

---

Evet, cevapta bunu gosterdik.

---

Burada aslinda cok cok fazlasini gosterdik. Aradakiler de basli basina guzel ozellikler.