$(X,d)$ metrik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin açık olması için gerek ve yeter koşul $A$ kümesinin açık yuvarların birleşimi şeklinde yazılabilmesidir.

Question

Biçimsel olarak şöyle de yazabiliriz:

$$((X,d), \text{ metrik uzay})(A\subseteq X)$$

$$:\Rightarrow$$

$$A\in\tau_d\Leftrightarrow (\exists B\subseteq A)(\exists C\subseteq \mathbb{R}^+)\left(A=\bigcup_{(x\in B)(\epsilon\in C)} B(x,\epsilon)\right)$$

Not: $\boxed{\tau_d:=\{A|(A\subseteq X)(A, d\text{-açık})\}}$

Answer 1

$\boxed{:\Leftarrow}$

$a\in$ $\bigcup$_{($x\in B$) (ε$\in$ $C$)} $B$($x$,ε) 

$\Rightarrow$ $d(a,x)$ <ε⇒ $\delta$:=ε–$d(a,x)$

$(1)$  $b \in$$B$$(a,\delta)$ $\Rightarrow$ $d(a,b)$ < $\delta$

$(2)$                                         $d(x,b) < d(x,a) + d(a,b)$

$(1)$ $ve$ $(2)yi$ $topladığımızda$ $;$ 

$d(x,b) + d(a,b) < \delta + d(a,b) + d(x,a)$

$d(x,b)+d(a,b)<\epsilon-d(a,x)+d(a,b)+d(x,a)$

$d(x,b)$ <ε ⇒ $b$∈$\bigcup$ $B$ ($x$,ε)

$\Rightarrow B(a,\delta)$ ⊂ ($A$=$\bigcup$_$ { $($x\in B$) (ε$\in$$C$)}$B$(x,ε)$

$\therefore$ $A$=$\bigcup$_{ ($x\in B$) (ε∈C) }  $B$( $x$,ε)$\in$ $\tau_d$

Comments

Fazla fazla \ isareti var ve duzenlmesi biraz zor olabilir.
Ayrica ifadeleri iki dolar isareti arasina almaliyiz ki matematiksel olarak gozuksun..

---

teşekkür ederim yardımlarınız için sanırım şimdi daha iyi :)

---

Bu haliyle pek anlaşılmıyor.

Answer 2

Gerek kısmı: $A\in\tau_d$ olsun.

$$A\in \tau_d$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall a\in A)(\exists \epsilon_a>0)( \{a\}\subseteq B(a,\epsilon_a)\subseteq A)$$

$$\Rightarrow$$

$$(A=\cup_{a\in A}\{a\}\subseteq \cup_{a\in A} B(a,\epsilon_a)\subseteq A)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists B(:=A)\subseteq A)(\exists C:=\{\epsilon_a|a\in A\Rightarrow (\exists\epsilon_a>0)(B(a,\epsilon_a)\subseteq A)\}\subseteq\mathbb{R}^+)(A=\bigcup_{(x\in B)(\epsilon\in C)}B(x,\epsilon)).$$

Yeter kısmı:  Her açık yuvar bir açık küme ve açık kümelerin keyfi sayıda birleşimi yine bir açık küme olduğundan yeter kısmı açık.

Comments

Saatlerce uğraştığım kısım aşikârmış :)

---

Saatlerce uğraşman senin için iyi bir çalışma olmuştur.