$\displaystyle P (k) =\sum_{i=0}^k Q(i)$ eşitliği üzerine

Question

$P:Z^+\to Z$ şeklinde tanımlı $n.$ dereceden bir polinom olsun. Her $P (k)$ polinomu için $\displaystyle P (k) =\sum_{i=0}^k Q(i)$ eşitliğini sağlayan bir $Q$ polinomu mevcut mudur? Mevcutsa $n$ herhangi bir sayı olacak şekilde her zaman $Q$ polinomunu kolayca çıkarabileceğimiz bir formülizasyon mevcut mudur? Bu formülizasyonu yaparsak bize nerelerde faydası olabilir tartışalım.

Comments

Soruyu degistirebiliriz: $Q(k+1)=P(k+1)-P(k)$ olacak sekilde bir $Q$ polinomu bulabilir miyiz?

---

Değiştirmeyelim öyle çok kolay görünüyor :) Sağolun hocam yine de bunu bulmanın bize faydasını tartışabiliriz.

---

Sence bir faydasi var mi?

---

Çok emin olmamakla birlikte kombitorik toplamlarda kolaylık sağlayabilir. Tabi işleri çıkmaza sürükleme olasılığı da göz ardı edilecek kadar küçük değil.

---

Sercan'in dedigi gibi,

$$Q(k) = P(k) - P(k-1) = \frac{P(k) - P(k-1)}{k - (k-1)}$$

ozdesligi var. Dolayisiyla $Q$'yu $P$'nin turevi gibi dusunebilirsin bir anlamda.

Answer 1

Böyle bir $Q(x)$ vardır $\Leftrightarrow$ $P(-1)=0$

İspatı çok kolay:

$Q(x)=P(x)-P(x-1)$ tek olası polinom. Ama istenen eşitliğin $k=0$ için sağlanması $P(-1)=0$ olmasına bağlı.

Answer 2

Ben de yukaridaki yorumumu cevaba donusturup biraz daha acayim:

Hem Sercan, hem de Dogan Donmez tarafindan gozlemlendigi gibi $Q(x) = P(x) - P(x-1)$ olmak zorunda. Yukaridaki yorumda da belirttigim gibi, eger bu esitligin sag tarafini $1$ ile bolersek, elimizde ayrik bir turev varmis gibi dusunebiliriz:

$$Q(x) = P(x) - P(x-1) = \frac{P(x) - P(x-1)}{x - (x-1)}$$

Yalniz, Dogan Donmez'in dedigi gibi indisler sorun cikartabilir. O yuzden, senin sorunu biraz degistirelim. Oyle bir degistirelim ki istedigimiz $Q$
$$Q(x) = P(x+1) - P(x)$$ ozelligini saglasin. Cok zor degil bu, indislerle biraz oynayinca olur. Bir de asagida yazacagim formullerin daha guzel olmasi icin $P$'yi $P: Z^{\geq 0} \to Z$ olarak alalim.

Bu $Q$, sadece $P$'ye bagli ve biricik oldugu icin ve turev olarak yorumlayabilecegimiz icin $Q = dP$ yazalim.

Simdi bunu ilk once biraz daha genellestirip, sonra tekrar polinom durumuna donelim.

Aslinda yukarida polinom dedigimiz sey bir tam sayi dizisinden baska bir sey degil: $(a_n)$ dizisini $a_n = P(n)$ kuraliyla tanimla. Kendimizi polinomlarla verilen tam sayi dizilerine kisitlamak yerine butun tam sayi dizilerini dusunelim. $a = (a_0, a_2, \ldots, \ldots )$ bir dizi olsun. $da$ dizisini $da_n = a_{n+1} - a_n$ kuraliyla olusturalim. Elde ettigimiz bu yeni $da$ dizisi de bir tam sayi dizisidir. Dolayisiyla elimizde 

$$d: \{\text{tam sayi dizileri}\} \to \{\text{tam sayi dizileri}\}$$

seklinde bir operator var. Istersek bu operatoru birden fazla kez de uygulayabiliriz. $d^k a$ dedigimiz zaman, $k$ kere uygulamis oldugumuzu belirtelim.

Teorem (Newton, 1687): Her tam sayi dizisi $(a_n)$ icin

$$a_n = \sum_{k= 0}^n \binom{n}{k} (d^ka)_0$$

Senin, notasyonunla

$$P(n) =\sum_{k= 0}^n \binom{n}{k} (d^k P)(0)$$

Devam edecek.