$\displaystyle\sum_{cyc}$ tam olarak nasıl kullanılır?

Question

Merhabalar, çalıştığım kaynaklarda $\displaystyle\sum_{cyc}\cdots$ gibi bir kullanımla karşılaşmıştım, bu toplamın ne olduğunu biraz araştırdım ancak işletimi ile ilgili yeterince bilgi elde edemedim, genel tanımını biliyorum eğer $f$ bir fonksiyon ise $\displaystyle\sum_{cyc}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_n,\cdots,x_1)+f(x_2,x_1,x_7,\cdots,x_n)+\cdots$ ve genel olarak $f$ fonksiyonunun bütün permütasyonlarını topluyormuş (bir de her zaman hepsini toplamak zorunda değil imiş?).

Sonuç olarak elimdeki bilgilerle öğrenemediğim $2$ şey var:

$1)$ Bu toplam ne işe yarıyor, hangi tip problemlerin çözümünü kolaylaştırıyor?

$2)$ Somut örnekler nasıl oluşturulabilir? Yani aktif olarak nasıl kullanabilirim? (Mesela C-S de direk ne yapacağımı biliyorum $(\sum a_i)^2(\sum b_i)^2 \geq (\sum a_ib_i)^2$ burada direk toplamlar açılıyor ve değerler yerine konuyor, ama elimdeki $cyc$ tanımı ile aynısını yapamadım)

(Dipnot: O problemi görmemin üzerinden uzun zaman geçti, o yüzden hangi tip problemlerde kullanılabileceği hakkında pek bir bilgim yok:( )

Comments

Bu şey genelde eşitsizlik sorularında kısaltma için kullanılır. Örneğin nesbitt eşitsizliği (sanırım) olarak bilinen pozitif reel sayılarda

                                                   $\dfrac {a} {b+c} + \dfrac {b} {c+a} + \dfrac {c} {a+b} \geq \dfrac {3} {2}$

eşitsizliğini kısaca

                                                               $\sum_{cyc} \dfrac {a} {b+c} \geq \dfrac {3} {2}$

olarak gösteririz. Yani ifadeler "dairesel" bir sıradadır. Yani $abc , bca , cab$ şeklindedir.

Mesela sana çok güzel bir örnek vereyim dairesel kavramını iyi anlamanla ilgili. $142857$ sayısını sırasıyla $2,3,4,5,6$ sayıları ile çarp ve çıkan sonuçları tek tek buraya yaz.

---

Çok teşekkürler:)) $285714$, $428571$, $571428$, $714285$, $857142$, ben hakkaten buraya yazdım ama, bu sayıyı nasıl buldun? Böyle sayıların özel bir ismi var mı?

---

$1/7 = 0,142857...$  ve http://matkafasi.com/17697/0%24aralarinda-aciliminin-periyodunun-degistigini-gosterin inceleyebilirsin.

---

Teşekkür ederim:)) (güzel çözüm)