Ben de yukaridaki yorumumu cevaba donusturup biraz daha acayim:
Hem Sercan, hem de Dogan Donmez tarafindan gozlemlendigi gibi $Q(x) = P(x) - P(x-1)$ olmak zorunda. Yukaridaki yorumda da belirttigim gibi, eger bu esitligin sag tarafini $1$ ile bolersek, elimizde ayrik bir turev varmis gibi dusunebiliriz:
$$Q(x) = P(x) - P(x-1) = \frac{P(x) - P(x-1)}{x - (x-1)}$$
Yalniz, Dogan Donmez'in dedigi gibi indisler sorun cikartabilir. O yuzden, senin sorunu biraz degistirelim. Oyle bir degistirelim ki istedigimiz $Q$
$$Q(x) = P(x+1) - P(x)$$ ozelligini saglasin. Cok zor degil bu, indislerle biraz oynayinca olur. Bir de asagida yazacagim formullerin daha guzel olmasi icin $P$'yi $P: Z^{\geq 0} \to Z$ olarak alalim.
Bu $Q$, sadece $P$'ye bagli ve biricik oldugu icin ve turev olarak yorumlayabilecegimiz icin $Q = dP$ yazalim.
Simdi bunu ilk once biraz daha genellestirip, sonra tekrar polinom durumuna donelim.
Aslinda yukarida polinom dedigimiz sey bir tam sayi dizisinden baska bir sey degil: $(a_n)$ dizisini $a_n = P(n)$ kuraliyla tanimla. Kendimizi polinomlarla verilen tam sayi dizilerine kisitlamak yerine butun tam sayi dizilerini dusunelim. $a = (a_0, a_2, \ldots, \ldots )$ bir dizi olsun. $da$ dizisini $da_n = a_{n+1} - a_n$ kuraliyla olusturalim. Elde ettigimiz bu yeni $da$ dizisi de bir tam sayi dizisidir. Dolayisiyla elimizde
$$d: \{\text{tam sayi dizileri}\} \to \{\text{tam sayi dizileri}\}$$
seklinde bir operator var. Istersek bu operatoru birden fazla kez de uygulayabiliriz. $d^k a$ dedigimiz zaman, $k$ kere uygulamis oldugumuzu belirtelim.
Teorem (Newton, 1687): Her tam sayi dizisi $(a_n)$ icin
$$a_n = \sum_{k= 0}^n \binom{n}{k} (d^ka)_0$$
Senin, notasyonunla
$$P(n) =\sum_{k= 0}^n \binom{n}{k} (d^k P)(0) $$
Devam edecek.