Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
425 kez görüntülendi

Aşağıdaki eşitliği ispatlayınız:

$\arctan{\left (k\right )}=\sum_{n=0}^{k-1}\arctan{ \left( \frac{1}{n^2+n+1} \right)}$, $k\geq 1$

ve aşağıdaki eşitliği çıkarınız:

$\sum_{n=0}^{\infty}\arctan{ \left( \frac{1}{n^2+n+1} \right)}=\frac{\pi}{2}$

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (4.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 425 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Tumevarimla ya da teleskopik seri ile ispatlamak icin: $k\geq0$ tam sayilari icin $\arctan (k+1)-\arctan(k)=\arctan(\frac{1}{k^2+k+1})$ oldugunu gostermek gerekir. Bunun icin de tanjant fark formlunu kullanabiliriz: $$\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}.$$

Bu durumda da $$\lim\limits_{k \to \infty}\sum_{n=0}^{k}\arctan \bigg(\frac{1}{n^2+n+1}\bigg)=\lim\limits_{k \to \infty} \arctan{(k+1)}=\frac{\pi}2$$ olur.

(25.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,060,592 kullanıcı