Topoloji tanimindaki "herhangi birlesim icerisinde olmalidir"dan kasit nedir?

Question

$X$ sayilamaz bir kume olsun. $$\tau_1=\{A \subset X \;\;|  A \text{ sonlu ya da } A=X  \}$$ve$$\tau_2=\{A \subset X \;\;|  A \text{ sayilabilir ya da } A=X  \}$$ topoloji belirtirler mi?

Comments

topoloji olma tanimi nedir saygideger hocam?

---

$X$ bir kume ve $\tau$, $X$ in asagidaki ozellikleri saglayan bir alt kumesi ise :

$1)$ $\varnothing$,$X$ $\in$ $\tau$ ,

$2)$ Her $ (A_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \tau$ icin,

                                    $\bigcup_{i=0}^{\infty} A_i \in \tau$ ,

$3)$ Her $(A_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \tau$ ve her $n \in \mathbb{N}$ icin, 

                                     $\bigcap_{i=0}^{n} \in \tau$

O zaman $(X,\tau)$  ikilisine $X$ uzerine bir topoloji denir.

Verdiginiz ornekler bu tanima uyuyor Sercan Hocam.

---

Tanimi nereden aldin, Cagan? Bu tanima gore ilki topoloji degil. 

---

https://tr.wikipedia.org/wiki/Topoloji linkteki tanimi matematiksel olarak yazdim. Ama zaten bu tanim standart degil mi? Toplojiyi nasil farkli tanimlayabiliriz?

Evet, ilki degilmis.

---

$\bigcup_{i=0}^\infty$ sayilabilir birlesim demek degil mi? Siralama var cunku. Verdigin linkte de sembol yok. Sormak istedigim tam olarak bu, oradaki herhangi( sayi)'den sayilabilir mi anlamaliyiz? Bu durumda ikincisi topoloji olur fakat sayilamazi da katarsak olmaz.

---

Matematik Koyu nde iki sene once topoloji aldigimda bu soruyu ben de sormustum. Sayilabilir birlesim cevabi aldigimi hatirliyorum. Ancak simdi de inceledigim butun kaynaklarda "arbitrary" kelimesi geciyor.

---

Ben biraz arastirma yaptim bununla ilgili. Cogu ogrenciye bu tanim acik gelmiyor, yabanci ogrencilere de. Zaten arastirmami yabancilar uzerinden yaptim. 

ilk olarak "arbitrary number"da yani wiki'de de verildigi gibi "herhangi sayi"da sayi gectiginden sonlu mu sorusu geliyor? Fakat iki ile sonlu arasinda aslinda bir fark yok. Bu nedenle sayilabilir mi sorusu geliyor. Fakat ya sayilamaz ise ne olacak. Acaba sayilamaz birlesim, sayilabilir birlesim denk mi dusuyor gibi sorular da geliyor. Fakat ikinci ornek tam da bu ikisinin farkli oldugunu gosteriyor.

Not: Ogrenciden kastim, gercekten ogrenmek isteyen ve sorgulayan insanlar. 

---

Evet, bunlar tanimi okuduktan sonra dogal olarak sorulmasi gereken sorular. 

Bu gibi durumlarda matematik tamamen formellesmeli diyorum boyle yanlis anlasilmalari ortadan kaldirmak icin. Sonra Godel geliyor aklima. 

---

Neden Godel geliyor? 

---

Tam olarak bahsettigim seyin imkansizligini kanitlamis cunku.

---

Sercan sorusunda haklı. Tanımlara, önceki bilgilerle çelişmediği sürece pek karışılmaz. Ancak burada Sercan'ın sorusunun cevabı hangi tanımı kullandığınıza göre değişiyor. Benim de tercih ettiğim genel yaklaşım aşağıdaki gibidir. Benim de tercih ettiğim aşağıdaki tanıma göre $\tau_1$ ve $\tau_2$ aileleri birer topoloji BELİRTMEZ. Ben tanımları formel bir şekilde vereceğim. Böylelikle topoloji tanımı, matematiğin evrensel dilini bilen herkes tarafından aynı şekilde anlaşılacak ve yanlış anlaşılmalara mahal vermeyecektir.

Tanım: $X\neq\emptyset$ küme ve $\tau\subseteq 2^X$ olmak üzere

$$\tau ,\,\ X\text{'de topoloji}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 1. \,\ (\forall\mathcal{A\subseteq\tau})(|\mathcal{A}|<\aleph_0\Rightarrow \cap\mathcal{A}\in\tau) \\ 2. \,\  (\forall\mathcal{A}\subseteq\tau)(\cup\mathcal{A}\in\tau) \end{array}\right.$$

$$(X,\tau)\text{ topolojik uzay}:\Leftrightarrow \tau, \,\ X\text{'de topoloji}$$

Daha sonra daha pedagojik olduğu için yukarıdaki tanımla aynı anlama gelen aşağıdaki teoremi yazıyorum.

Teorem: $X\neq\emptyset$ küme ve $\tau\subseteq 2^X$ olmak üzere

$$\tau ,\,\ X\text{'de topoloji}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 1.\,\  \emptyset,X\in\tau \\ 2. \,\ (\forall A,B\in\tau)(A\cap B\in\tau) \\ 3. \,\  (\forall\mathcal{A}\subseteq\tau)(\cup\mathcal{A}\in\tau) \end{array}\right.$$

---

Yorum yapacaktim soru olarak sordum: link

---

Sigma cebirlerle ilgili benzer bir soruyu daha önce sitede ben de sormuştum. Yanlış hatırlamıyorsam Şafak sayılabilir birleşim olması lazım minvalinde bir cevap yazmıştı. Bulabilirsem linki buraya ekleyeyim. Buldum. Burada mevcut

---

Matematiğin formelleşmesi gerektiği fikrine katılıyorum Çağan.